导数应用的题型与解题方法

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1、自己收集整理的错误在所难免仅供参考交流如有错误请指正！谢谢导数应用的题型与解题方法一、考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二、考试要求⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义理解导函数的概念⑵熟记基本导数公式：c,x(m为有理数)的导数掌握两个函数四则运算的求导法则会求某些简单函数的导数⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要

2、极值点两侧异号）会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值三、双基透视导数是微积分的初步知识是研究函数解决实际问题的有力工具在高中阶段对于导数的学习主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型2．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型也是高考中考察综合能力的一个方向应引起注意3．曲线的切线　用割线的极限位置来定义了曲线的切线．切线方程由曲

3、线上的切点坐标确定设为曲线上一点过点的切线方程为：4．瞬时速度用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度5．导数的定义　对导数的定义我们应注意以下三点：　(1)△x是自变量x在处的增量(或改变量)．　(2)导数定义中还包含了可导的概念如果△x→0时有极限那么函数y=f(x)在点处可导才能得到f(x)在点处的导数．　(3)由导数定义求导数是求导数的基本方法必须严格按以下三个步骤进行：　　(a)求函数的增量；　　(b)求平均变化率；　　(c)取极限得导数6．导数的几何意义　函数y=f(x)在点处的导数就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由

4、此可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：　(1)求出函数y=f(x)在点处的导数即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；　(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下求得切线方程为　特别地如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴这时导数不存在根据切线定义可得切线方程为7、导数与函数的单调性的关系㈠与为增函数的关系能推出为增函数但反之不一定如函数在上单调递增但∴是为增函数的充分不必要条件㈡时与为增函数的关系若将的根作为分界点因为规定即抠去了分界点此时为增函数就一定有∴当时是为增函数的充分必要条件㈢与为增函数的关系为增函数一定可以推出但反之不一定

5、因为即为或当函数在某个区间内恒有则为常数函数不具有单调性∴是为增函数的必要不充分条件函数的单调性是函数一条重要性质也是高中阶段研究的重点我们一定要把握好以上三个关系用导数判断好函数的单调性因此新教材为解决单调区间的端点问题都一律用开区间作为单调区间避免讨论以上问题也简化了问题但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题要谨慎处理㈣单调区间的求解过程已知（1）分析的定义域；（2）求导数（3）解不等式解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式解集在定义域内的部分为减区间㈤函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增在单调递增又知函数在处连续

6、因此在单调递增同理减区间的合并也是如此即相邻区间的单调性相同且在公共点处函数连续则二区间就可以合并为一个区间8、已知（1）若恒成立∴为上∴对任意不等式恒成立（2）若恒成立∴在上∴对任意不等式恒成立四、热点题型分析题型一：利用导数定义求极限例1．已知f(x)在x=a处可导且f′(a)=b求下列极限：　　（1）；（2）题型二：利用导数几何意义求切线方程例2．．已知曲线曲线直线与都有相切求直线的方程题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值例3已知函数的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数处有极值求的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数在[－31]上

7、的最大值；（Ⅲ）若函数在区间[－21]上单调递增求实数b的取值范围例4：已知三次函数在和时取极值且．(1)求函数的表达式；(2)求函数的单调区间和极值；(3)若函数在区间上的值域为试求、应满足的条件．例5：已知函数f(x)=－x3＋3x2＋ax＋b在x＝(1f(1))处的切线与直线12x－y－1＝0平行．（1）求实数a的值；（2）求f(x)的单调递减区间；（3）若f(x)在区间[－22]上的最大值为20求它在该区间上的最小值．例6：已知函数在处取得极值　　（1）用表示；　　（2）设函数如果在区间上存在极小值求实数的取值范围.例7：已知(1)当时

8、,求证在内是减函数;(2)若在内有且只有一个极值点,求a的取值范围.例8：设函数．（1）若的图象与直线相切切点横坐标为２且在处取极值求实数的值；（2）