导数在实际生活中的应用学案2

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1、第14课时　导数在实际生活中的应用(2)　教学过程一、问题情境(教材第95页例5)在经济学中,生产x单位产品的成本称为成本函数,记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数,记为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为P(x).(1)如果C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000,那么生产多少单位产品时,边际成本C'(x)最低?(2)如果C(x)=50x+10000,产品的单价p(x)=100-0.01x,那么怎样定价可使利润最大?二、数学建构问题1　我们在前面学过边际成本函数、边际收

2、益函数和边际利润函数,它们分别是什么含义?[1]问题2　问题情境中第(1)问的边际成本函数是什么?解　C'(x)=3×10-6x2-0.006x+5.问题3　如何求边际成本的最小值呢?解　令C'(x)=g(x),则g'(x)=6×10-6x-0.006=0,解得x=1000.当x<1000时,g'(x)<0,所以g(x)单调递减;当x>1000时,g'(x)>0,所以g(x)单调递增.所以x=1000时,C'(x)最小,即边际成本最低.问题4　如何定价能使问题情境中第(2)问的利润最大呢?解　由p(x)=

3、100-0.01x,则R(x)=x(100-0.01x),P(x)=R(x)-C(x)=x(100-0.01x)-(50x+10000)=-0.01x2+50x-1000.由P'(x)=-0.02x+50=0,解得x=2500,故当x=2500时,利润最大,即P(x)max=P(2500)=75.答　生产1000个单位产品时,边际成本最低;当产品的单价为75时,利润最大.三、教学应用【例1】　(教材第94页例4)强度分别为a,b的两个光源A,B,它们间的距离为d.试问:在连接这两个光源的线段AB上,何处照

4、度最小?试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比).(见学生用书P69)[处理建议]　由学生思考交流后给出解决问题的详细答案.　(例1)[规范板书]　解　如图,设P在线段AB上,且P距光源A为x,则P距光源B为3-x(00.因此,x=2时

5、I取极小值,也是最小值.故在两光源的连线段AB上,距光源A的距离是2处的照度最小.【例2】　设某银行中的总存款与银行支付给存户的利率的平方成正比,若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出,问:给存户支付的年利率定为多少时,才能获得最大利润?(见学生用书P70)[处理建议]　学生思考后请一位学生板书.[规范板书]　解　设总存款a元,利率为r,利润为y,则a=kr2(k为比例系数),y=90%a·10%-a·r=0.09a-ar=0.09kr2-kr3(0

6、=0.06.当00;当0.06

7、但团体人数不能超过180.问:如何组团,可使旅行社的收费最多?解　设超过x人,0≤x≤80,则旅行社收费y=(100+x)(1000-5x)=-5x2+500x+100000(0≤x≤80).由y'=0得x=50,当0≤x≤50时y'>0,当x>50时,y'<0,故x=50时,y取极大值,且是最大值.故组150人的团时旅行社收费最多.2.如图,一矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问:截去的小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?(第2题)解　设小正方形

8、的边长为xcm,则盒子底面长为(8-2x)cm,宽为(5-2x)cm,高为xcm.则V=(8-2x)(5-2x)x=4x3-26x2+40x,所以V'=12x2-52x+40,令V'=0,得x=1或x=(舍去).当00;当1