哥德尔、埃舍尔、巴赫

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1、GEB—一条永恒的金带（道格拉斯·霍夫施塔特）怪圈绘画与音乐中的怪圈我第一次知道埃舍尔的名字是在十多年前。那时我津津有味地看着诺贝尔物理学奖金的获得者杨振宁博士所著的小册子《基本粒子发现简史》。我特别注意到杨振宁先生在前言中对埃舍尔先生允许他采用《骑士图》表示深深的谢意。我被这张图深深地吸引住了，因为埃舍尔以优美的图形及其镜像巧妙地表现了对称性的原理。这些原理在物理学的世界中起着极为重要的作用。可惜，迄今为止，中国人一般还不熟悉埃舍尔的作品，但是在西方他是一位别具一格、极有影响的画家。埃舍尔创造了一系列富有智慧的图画，其中有

2、许多画体现了奇妙的悖论、错觉或者双重的含义。因此，在埃舍尔作品的崇拜者中间有许多数学家也就不足为怪了。当我们慢慢欣赏埃舍尔的画并在其中发现那些美妙的数学原理时，那是一种多么愉快的享受啊！埃舍尔的画往往表现了一些很深刻的思想，怪圈就是其中最常见的一种。我们先来看看那幅奇怪的版画《瀑布》(图1)。在画面的中央，瀑布倾泻而下，水花四起，还推动了水轮。汇集到水池中的水则顺着水渠哗哗地流去，一级一级地下降。突然水又流到了瀑布口！真是不可思议，可是在画面上却表现得明明白白。我们只能把这种周而复始的圈称作“怪圈”。我们再看那幅《上升与下降

3、》(图2)。在这冰冷阴森的教堂里，僧侣们排成两队往前走。其中一队总是沿着楼梯往上走，另一队总是往下走。可是他们走的却是同样的楼梯，并且不断地回到原来出发的地方。真是妙不可言。这又是一个怪圈。所谓怪圈就是指这样一种现象，我们在某一个等级系统中逐步上升(或者下降)，结果却意外地发现又回到了原来开始的地方。有时我就用“缠绕的层次”来描述其中有怪圈的体系。怪圈还要在本书中一再出现，忽上忽下，时隐时显，希望读者能够细细地体会它的内在含义。有趣的是在音乐中也有这样奇妙的怪圈。为此我们先介绍一下近代西方音乐的鼻祖，被誉为“音乐之父”的J·

4、S·巴赫。巴赫是颇负盛名的钢琴家、风琴家和作曲家。当时的普鲁士国王弗里德利希是他的崇拜者。他把62岁的巴赫邀请到自己的宫廷来，并向他展示了自己收藏的钢琴。这种钢琴在当时还是问世不久的珍品。巴赫在每一架钢琴上进行即兴表演，使得弗里德利希大为倾倒。当巴赫返回莱比锡后，他收到了国王自己创作的一部分乐谱。巴赫在这些乐谱的基础上写成了举世闻名的主题乐曲《音乐的奉献》，并把它奉献给弗里德利希国王。巴赫在这部作品中充分发挥了形式上的技巧。有趣的是，在这种登峰造极的技巧中就包含着怪圈。为了理解音乐创作中的怪圈，我们必须先谈谈“卡农”。卡农是

5、音乐家们熟悉的，它就是重复地演奏同一主题。最简单的方式既是用不同的音部重复演奏，每个音部都比前一个音部延迟一段时间。大部分乐曲的主题与这种演奏方法是不协调的。适合多音部的主题必须使每个音符具有双重(或多重)的功能，它既是主题中的一部分，又必须与其他音部保持和谐。在《音乐的奉献》中，用一种特殊的卡农技巧构成了怪圈。它由三个音部组成。当最高音部演奏主题时，其余两个音部提供卡农式的协奏。这种卡农最大的特点就是神不知鬼不觉地进行变调，使得结尾最后能很平滑地过渡到开头。这种首尾相接的变调使听众有一种不断增调的感觉。在转了几圈之后，听众

6、感到已经离开原来的调很远了。可是奇妙的是通过这样的变调又能回到原来的调上。这就是音乐中的怪圈。我们可以体会巴赫的创作意图，无疑他有这样一种想法，采用这种方法可以使升调的过程无限地进行下去。因此他在乐谱上专门注上了“陛下的荣耀也随着变调而增高”。我们不妨把这种卡农称为“无限升高的卡农”。如果我们把“无限升高的卡农”与埃舍尔的画《瀑布》以及《上升与下降》作个比较，就可以发现两者的相似性是极为明显的。巴赫和埃舍尔采用不同的艺术形式：音乐和美术，却表现了同样的思想：怪圈。埃舍尔用绘画表现的怪圈有许多不同的形式，有松弛的也有紧凑的。在

7、《上升与下降》中，这种怪圈是比较松弛的，僧侣们要经过许多级才能返回原处。而在“瀑布”中怪圈就要紧凑一些，它总共只有6级。你也许已经想到了，这里“级”的计算有含糊不清之处。例如我们可以把《上升与下降》的系统算成是45级(按台级算)，也可以算成是4级(按楼梯算)。这种模棱两可性不仅表现在埃舍尔的画的怪圈上，也表现在其他形式怪圈的系统中。更紧凑的怪圈可以在《画画的双手》(图22)这幅画中看到。而最紧凑的怪圈要数《画廊》(画23)了。这幅画中之画包含着自身。我们可以说画廊中的一幅画包含着它自身，也可以说这个城市包含着它自身。怪圈的内

8、在含义也是在有限中包含无限的概念。它不仅仅是一个圈，而且是埃舍尔纳著名作品《变形》(图4)中表现得极为明显。我们从作品的某点出发，随着画面的逐级变化而向前走去，走着走着却突然回到了原来出发的地方。1.2怪圈与悖论在巴赫和埃舍尔创造的这些怪圈中，存在着无限与有限的矛盾，荒唐与真实的对比，往往