2013年高三理科数学第一轮复习函数(3)函数的单调性

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1、2013年高三理科数学第一轮复习函数（3）函数的单调性考纲要求1、了解单调函数及单调区间的概念；2、掌握判断一些简单函数单调性的方法；3、掌握增、减函数的意义；4、理解单调函数的性质。命题规律函数的单调性、最值及其几何意义在高考中占有较高的地位，一直是考试的热点。单调性通常与奇偶性综合出题，以小题形式出现的比较多。在函数的大题中往往都会涉及单调性，特别是与导数结合，单调性和最值是密不可分的。考点解读考点1函数的单调性的判断判断(或证明)函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的定义；(2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单

2、调性的判断法则；(4)利用函数的导数等。考点2复合函数的单调性复合函数单调性的题目难度一般都比较大，解决问题的关键是切实掌握好“同增异减”的规律，并注意变量的取值范围。考点3利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解。考点突破考点1函数的单调性的判断典例1试讨论函数f(x)＝的单调性．解题思路可采用定义法或导数法判断．解题过程法一　f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1＜x2，都有f(

3、x1)－f(x2)＝－＝，其中x1－x2＜0，x＋1＞0，x＋1＞0.①当x1，x2∈(－1,1)时，即

4、x1

5、＜1，

6、x2

7、＜1，∴

8、x1x2

9、＜1，则x1x2＜1,1－x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，∴f(x)为增函数．②当x1，x2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时，1－x1x2＜0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)为减函数．综上所述，f(x)在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．法二　∵f′(x)＝′＝＝＝，∴由f′(x)＞0解得－1＜x＜1.由f′(x)＜0解得x＜－1或

10、x＞1，∴f(x)在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．易错点拨使用定义法判断时，要注意变形过程的准确性，做到等价变形。在使用导数法判断单调性时，注意求导的准确。变式1讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．点拨设－10时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

11、(－1,1)上递增考点2复合函数的单调性典例1已知函数，若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（）A、B、C、D、解题思路充分利用“同增异减”的规律解决解题过程设，则是这两个函数的复合函数。当时，若在区间上是增函数，为增函数，在上是增函数，，无解；当时，若在区间上是增函数，为减函数，仿上面的分析，可知应有，解得，所以实数a的取值范围是，选D易错点拨解题过程中容易对自变量和中间变量产生混淆。要注意两个函数中各个变量的取值范围，内函数的值域应是外函数定义域的子集。变式1如果函数在区间上是增函数，那么实数a的取值范围是（）A、B、C、D、点拨使用换

12、元法，得到外函数和内函数然后讨论内外函数的单调性，决定复合函数的单调性。答案B考点3利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)典例2已知函数f(x)＝(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．解题思路求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性．解题过程法一　设2a恒成立．又x1x2>4，则0

13、≤2，解得0

14、当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即