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1、等差、等比数列的性质及应用知识归纳：(一)等差数列的性质(1)=+(m-n)d,d=(2)等差数列中，若p+q=m+n，则，若2m=p+q，则（3）首尾项性质：设数列，若是等差数列，则；（4）中项及性质：设成等差数列，则A称的等差中项，且；(5)若{},{}均为等差数列，且公差分别为d1,d2，则数列{p},{+q},{±}也为等差数列，且公差分别为pd1,d1,d1±d2(6)在等差数列中,间隔k项抽取一些项,按原序排列仍构成一个等差数列,公差为（k+1）d.(7)等差数列前n项和构成一个等差数列，即,,,…为等差数列，公差为n2d。
2、(8)若等差数列的项数为2n，则有。(9)等差数列的项数为奇数n，则，。(10){an}为等差数列，=(2n-1)(11)通项公式是=An+B(A≠0)是一次函数的形式；前n项和公式=An2+Bn(A≠0)是不含常数项的二次函数的形式。（注当d=0时，=n,=）(12)若>0，d<0，有最大值，可由不等式组来确定n。若<0，d>0，有最小值，可由不等式组来确定n。（二）等比数列的性质(1)(2)等比数列中，若p+q=m+n，则=·，若2m=p+q，则=(3)若{},{}均为等比数列，且公比分别为q1,q2，则数列{p},{},{·},,
3、{
4、
5、}也为等比数列，且公比分别为pq1,,d1·d2,,
6、q1
7、(4)在等比数列中，间隔k项抽取一些项,按原序排列仍构成一个等比数列，公比为(5)等比数列前n项和构成一个等比数列，即,,,…为等比数列，公比为。（三）.等差数列与等比数列的联系1）若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a>0且a≠1）；2）若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。3）若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。二、主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即
8、运用条件转化为关于和的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键．三、例题讲解：例1、（1）设是等差数列，且，求及值。（2）等比数列中，，，前n项和=126，求n和公比q。（3）等比数列中，q=2，=77，求；（4）项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。解：（1）由已知可得，所以=2，=，所以或又,所以或评注：分解重组，引导发现（）、（）与（）的关系，从而使问题获得简单的解法。设等差
9、数列共2n-1项,则所以此数列共31项.中间项评注：（1）在项数为项的等差数列中，；（2）在项数为项的等差数列中．变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13项；（2）已知数列是等比数列,且,,，则9．（3）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是210．(4)等差数列{an}和{bn}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.。（=）例2、设等差数列的前n项之和为，已知=12，>0，<0，（1）求公差d的取值范围。（2）指出，，，…中哪一个值最大，并说明理由。解：（1），
10、，即，由,代入得：。（2）解一：由，可知，所以最大。解二：，由可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知最大。解三：，由得。又抛物线开口向下，所以最大。评注：求等差数列最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点）变式：(1)已知等差数列{an}中，，问，，，…中哪一个值最大。（或）(2)数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足，①求数列的前项和的最大值；②求数列的前项和．略解：（1）由题得，∴，∴是首项为3，公差为的等差
11、数列。∴，∴由，得，∴数列的前项和的最大值为（2）由（1）当时，，当时，，∴当时，当时，∴．例3、(1)由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式．①②解：当时，得不成立，∴，∴由①得，代入②得，∴．说明：用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．(2)若数列成等差数列，且，求．解：（法一）基本量法（略）；（法二）设，则得：，，∴，∴．评注：法二抓住了等差数列前n项和的特征。变式：设数列为等差数列，为数列的前n项和，已知=7，=75,为数列
12、{}的前n项和，求。解：法一：（基本量法）设{an}首项为a1，公差为d，则∴∴，∴∴此式为n的一次函数，∴{}为等差数列，∴。法二：为等差数列，设=An2+Bn，∴解之得：∴，下略。例4、已知等差数列，（
