第三章数学分析观点下的中学数学

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1、一、必做作业：1．用两种方法求下列函数的极值：（1）解：第1种方法利用求导：,，令，得到：，当时，，取得极小值且；当时，，取得极大值且；第二种方法利用初等解法：由于极值的概念是一个局部性的概念，是极值点处的函数值与其附近的函数值进行比较而得出的概念。因此，令：比较系数得到：①；②；③由①得，代入②得，故，。若，则，，代入③得，从而有：；当在1的附近，显然有，又；所以：，即函数在取得极小值-1.若，则，，代入③得，从而有：；当在-1的附近，显然有，又；所以：，即函数在取得极大值3.（2）．解：第1种方法利用求导：,，

2、令，得到：，当时，，取得极小值且；当时，，取得极大值且；第二种方法利用初等解法：由于极值的概念是一个局部性的概念，是极值点处的函数值与其附近的函数值进行比较而得出的概念。因此，令：比较系数得：①；②；③由①得，代入②得，故，。若，则，，代入③得，从而有：；当在2的附近，显然有，又；所以：，即函数在取得极小值-19.若，则，，代入③得，从而有：；当在-1的附近，显然有，又；所以：，即函数在取得极大值8.2．问当取何值时，取得最小值．解：先求二次函数的偏导数，并令，解得，此为的驻点，且在上是连续的，因此在点（2，-1）

3、上取得最小值2。即当时，取得最小值2.3．有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息．如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客都能听到，又已知当天任意的3个顾客中，至少有两个在商场里相遇．问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场里的所有顾客都能听到．解：顾客人数为n=1,2时，已知条件无法用上。因此从n=3考虑：当第一个顾客到来时，为了使广播的次数少一些，可以先不播，一直等到有人要离开商场时，则必须开播。可见，第一次广播应在第一个顾客将离开而未离开商场之前。第一次开播时，第2、3位顾客可能到了，也可能未到

4、，考虑最坏的情况，他们还未进来或还未全进来，那么第二次开播则应在第三个顾客进来之后。而第二个顾客根据条件则知道，他一定会在第一个顾客离开之前进来，或在第三个顾客进来之后才离开，因此，他一定听到广播。所以，至少播2次就可以了。这个对任意的也成立。设：第一个离去的顾客为A，最后一个进来的顾客为B，若按上述方法广播2次之后，仍有顾客C没听见，则C必在A离去之后才进来，且在B进来之前就离去，于是C与A、B均未相遇。这与已知条件矛盾。所以，商场至少需要广播2次，当天全体顾客都可以听到了。4．解不等式．解：原式可化为：①，由于

5、，因此，只要，①式即可成立。因此②（1）当时，不等式②两边均为正数，两边平方符号不变，即（2）当时，，从而不等式②不成立，即无解。（3）当时，，从而不等式②恒成立，即不等式的解为。（4）当时，不等式②两边均为负数，两边平方符号改变，即综上所述，可以知道不等式的解集为5．设求证：.证：原不等式等价，即要证明：。设函数，求得，，由于，因此，在定义域上为凹函数，则由凹函数的性质可知：，从而有成立，即，因此，可以知道原不等式成立，即证明。二、选做作业1．你认为数学分析的辩证观点对哪些中学数学解题策略（除了本章介绍）还有指导

6、作用？请举例说明．解：在证明一些特殊数列无穷项的和为常数时，可以利用数学分析中函数项级数的展开项进行证明。例如：2．请用戴德金分割原理证明：1°的角是存在的．证：3．在单位正方形的周界上任意两点之间连一曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的部分，试证这个曲线段的长度不小于1．证：（1）若点分别在对边上（图1），显然，从到的曲线长度不小于1.图1（2）若点分别在一对邻边上（图2），则弧必与对角线BD相交（否则弧MN分成的两部分面积不等），设为交点，作弧关于的对称图形弧，则在上，因此，由（1）可知弧=弧;图2（3）若点

7、在同一条边上（图3），那么弧必与的中点连线相交（否则弧分成的两部分面积不等）。设为交点，作弧关于的对称图形弧，则在上，根据（1）有弧=弧。图3综上所述，命题得证。2．已知当时，不等式恒成立，求的取值范围．3．已知等边△ABC在内作线段AP，连．求证：.．等号成立当且仅当四点共圆．（题目不全）