第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质（教案）

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1、二轮•数学第二讲　椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质[考情分析]圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考热点，多以选择、填空考查，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程求法，难度中档偏下.年份卷别考查角度及命题位置2017Ⅰ卷抛物线中弦长最值问题·T10双曲线的离心率·T15Ⅱ卷双曲线的离心率·T9抛物线中弦长问题·T16Ⅲ卷双曲线方程求法·T5椭圆离心率求法·T102016Ⅰ卷抛物线与圆的综合问题·T10Ⅱ卷双曲线的定义、离心率问题·T11Ⅲ卷直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率·T112015Ⅰ卷双曲线简单性质的应用·T5结合椭圆的性质求圆的标准方程·T14Ⅱ卷双曲线的几何性质·T11[真

2、题自检]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知

3、AB

4、＝4，

5、DE

6、＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)A．2　　　　　　　　B．4C．6D．8解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵

7、AB

8、＝4，

9、DE

10、＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D.∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.答案：B10/10二轮•数学2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin

11、∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)A.B.C.D．2解析：法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.法二：因为MF1与x轴垂直，所以

12、MF1

13、＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即

14、MF2

15、＝3

16、MF1

17、.由双曲线的定义得2a＝

18、MF2

19、－

20、MF1

21、＝2

22、MF1

23、＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.答案：A3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，

24、则C的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c，0)．设E(0，m)，由PF∥OE，得＝，则

25、MF

26、＝.①10/10二轮•数学又由OE∥MF，得＝，则

27、MF

28、＝.②由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.故选A.答案：A椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程[方法结论]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：

29、PF1

30、＋

31、PF2

32、＝2a(2a>

33、F1F2

34、)；(2)双曲线：＝2a(2a<

35、F1F2

36、)；(3)抛物线：

37、PF

38、＝

39、PM

40、，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在

41、的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．[题组突破]1．(2017·大连双基)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)A.　　　B．1　　　　C.　　　　D．2解析：设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2，∴xP＋1＝2，∴xP＝1，代入抛物线方程得

42、yP

43、＝2，∴△OFP的面积为S＝·

44、OF

45、·

46、yP

47、＝×1×2＝1.答案：B2．(2017·湖北八校联考)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线

48、段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.解析：由题意知a＝3，b＝.由椭圆定义知

49、PF1

50、＋

51、PF2

52、＝6.在△PF1F2中，因为PF1的中点在y轴上，O10/10二轮•数学为F1F2的中点，由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴，所以

53、PF2

54、＝＝，所以

55、PF1

56、＝6－

57、PF2

58、＝，所以＝，故选B.答案：B3．已知双曲线－＝1(a＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为4，求双曲线的方程．解析：根据对称性，不妨设点A在第一象限，A(x，y)，则，解得，∵四边形ABCD的面积为4，

59、∴4xy＝4×＝4，解得a＝2，故双曲线的方程为－＝1.[误区警示]1．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．2．在使用椭圆与双曲线的标准方程时，要注意区分焦点位置．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质[方法结论]1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为