中考数学专题：几何图形的归纳,猜想,证明问题

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1、中考数学专题：几何图形的归纳,猜想,证明问题中考数学专题10　几何图形的归纳,猜想,证明问题【前言】实行新标以，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题出。根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题看看如何应对这种新题型。第一部分真题精讲【例1】如图，+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设的面积为，的面积为，…，

2、的面积为，则=；=____（用含的式子表示）．【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是,这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系首先所代表的三角形的底边是三角形的底边,而这个三角形和△是相似的所以边长的比例就是与的比值于是接下通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,为（连接上面所有的B点，将阴影部分放在反过的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发

3、现所有的B,点连线的边都是平行的，于是自然可以得出自然是所在边上的n+1等分点例如就是的一个三等分点于是(n+1-1是什么意思?为什么要减1?)【例2】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，菱形的四个顶点坐标分别是，，，，则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形的四个顶点坐标分别为，，，（为正整数），则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有的式子表示）．【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑

4、）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。比如我们看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为,斜率意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT三角形一共有2n/2=n个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是?而且这些直角三角形都是全等的,面积均为两个单位格点正方形的一半那么整个的△AB的面积自然就是,所有n个空白小三角形的面积之和为,相减之后

5、自然就是所有格点正方形的面积,也就是数量了所以整个菱形的正方形格点就是【例3】如图，，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．则第一个黑色梯形的面积；观察图中的规律，第(为正整数)个黑色梯形的面积．【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。第一个梯形上底是1，下底是3，所以第二个梯形面积,第三个是,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和而且各个梯形的上底都是前一个

6、梯形上底加上4。于是第n个梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1)个4)下底自然就是4n-1,于是就是8n-4【例4】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B11D1，A2B22D2，A3B33D3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A10B1010D10四条边上的整点共有　　　个．【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于说,每条边的长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1，所以四条边上

7、整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是就是80个【例】如图，△AB中，∠AB=90°，A=B=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△AB的B边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是4度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是360度，包涵了8个4°。于是绕到第八次就

8、可以和B重叠了，此时边长为△AB的，故而得解。【例6】如图，以等腰三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形，……，如此作下去，若，则第个等腰直角三角形的面积________（n为正整数）【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得，分子就是1,2,4,8,16这样的