第三讲 递归与回溯法

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1、第三讲递归与回溯法一、递归的概念什么是递归？先看大家都熟悉的一个民间故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚在给小和尚讲故事，故事里说，从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚在给小和尚讲故事，故事里说……。象这样，一个对象部分地由它自己组成，或者是按它自己定义，我们称之是递归。例如，我们可以这样定义N!，N!=N*(N-1)!，因此求N!转化为求(N-1)!。这就是一个递归的描述。因此，可以编写如下递归程序：programFactorial;varN:Integer;T:Longint;functionFa

2、c(N:Integer):Longint;beginifN=0thenFac:=1elseFac:=N*Fac(N-1)end;beginWrite('N=');Readln(N);T:=Fac(N);Writeln('N!=',T);end.图3-1递归调用示例图图3-1展示了N=3的执行过程。由上述程序可以看出，递归是一个反复执行直到递归终止的过程。设一个未知函数f，用其自身构成的已知函数g来定义：为了定义f(n)，必须先定义f(n-1)，为了定义f(n-1)，又必须先定义f(n-2)，…15一个函数、过程、概

3、念或数学结构，如果在其定义或说明内部又直接或间接地出现有其本身的引用，则称它们是递归的或者是递归定义的。在程序设计中，过程或函数直接或者间接调用自己，就被称为递归调用。递归过程是借助于一个递归工作栈来实现的，问题向一极推进，这一过程叫做递推；问题逐一解决，最后回到原问题，这一过程叫做回归。递归的过程正是由递推和回归两个过程组成。递归有如下特点：①它直接或间接的调用了自己。②一定要有递归终止的条件，这个条件通常称为边界条件。与递推一样，每一个递推都有其边界条件。但不同的是，递推是由边界条件出发，通过递推式求f(n)的

4、值，从边界到求解的全过程十分清楚；而递归则是从函数自身出发来达到边界条件，在通过边界条件的递归调用过程中，系统用堆栈把每次调用的中间结果（局部变量和返回地址）保存起来，直至求出递归边界值f(0)=a。然后返回调用函数。返回的过程中，中间结果相继出栈恢复，f(1)=g(1,a)àf(2)=g(2,f(1))à……à直至求出f(n)=g(n,f(n-1))。递归按其调用方式分直接递归——递归过程P直接自己调用自己；间接递归——即P包含另一过程D，而D又调用P；由此可见，递归算法的效率往往很低，费时和费内存空间。但是递归

5、也有其长处，它能使一个蕴含递归关系且结构复杂的程序简洁精炼，增加可读性。特别是在难于找到从边界到解的全过程的情况下，如果把问题进一步，其结果仍维持原问题的关系，则采用递归算法编程比较合适。递归算法适用的一般场合为：①数据的定义形式按递归定义。如裴波那契数列的定义：对应的递归程序为functionfib(n:Integer):Integer;beginifn=0thenfib:=1{递归边界}elseifn=1thenfib:=2{递归边界}elsefib:=fib(n–2)+fib(n–1);{递归}end;这类递

6、归问题可转化为递推算法，递归边界为递推的边界条件。例如上例转化为递推算法即为unctionfib(n:Integer):Integer;begin15f[0]:=1;f[1]:=2;{递推边界}forI:=2tondof[I]:=f[I–1]+f[I–2];fib:=f(n);end;②数据之间的关系（即数据结构）按递归定义。如树的遍历，图的搜索等。③问题解法按递归算法实现。例如回溯法等。对于②和③，可以用堆栈结构将其转换为非递归算法，以提高算法的效率以及减少内存空间的浪费。下面以经典的N皇后问题为例，看看递归法是

7、怎样实现的，以及比较递归算法和非递归算法效率上的差别。二、应用举例例1、楼梯有N级台阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上二阶。编一递归程序，计算共有多少种不同走法？提示：如N级楼梯有S(N)种不同走法，则有：S(N)=S(N-2)+S(N-1)输入：N输出：所有的走法例2、新汉诺（hanoi）塔问题设有n各大小不等的中空圆盘，按从小到大的顺序从1到n编号。将这n个圆盘任意的迭套在三根立柱上，立柱的编号分别为A、B、C，这个状态称之为初始状态。问题要求找到一种步数最少的移动方案，使得从初始状态转变为目标状态。移动时有

8、如下要求：①一次只移动一个盘；②不允许把大盘移到小盘上边；输入：输入文件第1行是状态中圆盘总数；第2~4行是分别是初始状态中A、B、C柱上的圆盘个数和从上到下每个圆盘的编号；第5~7行是分别是目标状态A、B、C柱上的圆盘个数和从上到下每个圆盘的编号。输出：每行写一步的移动方案，格式为：MoveI圆盘formP柱toQ柱。最后输出最少步数。输入样例（如图）：6