strongart数学笔记：浅析交换环到非交换环的推广

《strongart数学笔记：浅析交换环到非交换环的推广》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、浅析交换环到非交换环的推广最近我读完了Lam的《非交换环初级教程》，发现非交换的情形确实很有意思，下面就简单谈几点交换环到非交换环的推广。非交换环的一个最常见的例子或许就是矩阵了，利用矩阵可以一批非交换环的反例。若S是包含在环R内的相应维数为无穷的域，那么A=Re_11+Re_12+Se_22是左Noether与左Artin的，但不是右Noerther与右Artin，这说明了链条件在非交换环中有左与右的差别。在除环上的所有矩阵的有限直积构成了所谓的半单环类，这就是通常所说的Wedderburn-Artin定理，这也是非交换环中第一个精彩的结构定理。更加有趣的是，它通过矩阵的对称结

2、构，自然说明了左半单环等价于右半单环，尽管非交换环中有左与右的区别，但也不乏此类殊途同归的有趣现象。在交换环中，我们经常要研究它的根，也就是某类条件理想的交集。最常见的两个根分别是Jacobson根与幂零根，前者简称为大根，它是所有极大理想的交；后者简称为素根或小根，它是所有素理想的交。而在非交换的情形中，一个根就可能分化为三个根，满足某类条件左、右理想以及理想的交。尽管一般不作为重点，但在非交换环中也一样可以讨论（双边）理想。事实上，非交换环R所有极大左理想的交恰恰就是所有极大右理想的交，并且它们良好的继承了相应的可逆性质，因此就称其为非交换环的Jacobson根，也记作rad

3、(R)。而对于R有极大理想的交，就要比rad(R)更大一些，被称为Brown-McCoy根。反例要稍微复杂一点，设k是除环，V=∑e_ik（Σ是直和，i=1，2…），R=End（V_k)，可以证明R是vonNeumann正则的，因此Jacobson根为零，但它却有唯一的极大理想I={f∈R;dimf(V)<∞}！这类的自同态环的例子可以视为矩阵的一种无穷维推广。小根的情况似乎要简单一些，可能是定义的不方便，书中并没有出现所谓的左素理想与右素理想，而只是笼统的定义了素理想的概念。这样就似乎只剩下了一个素根了，但有趣的是在非交换的情形中，素根自身又出现的分裂。具体说来，环R的所有素理

4、想的交集（素根）并不等于R的所有幂零元组成的集合（幂零根），后者要更大一些，可惜这里我没有找到相应的反例。在交换代数中，由于局部化技术的广泛使用，局部环成为了一个研究的焦点。但非交换环的局部化技术似乎受到了限制，反倒是特别在乎半局部环，因为后者能够提供其模上的直和消去法则。值得注意的是，非交换环中对半局部环的定义并非是指它只有有限个极大左理想，而是定义为R/rad(R)是半单环或者是Artin环。事实上，半局部环R的各（双边）理想均包含rad(R)，可以化归为Artin环R/rad(R)中的极大理想，因此至多只有有限多个。但对于左理想的情形，就必须补充条件：R/rad(R)可交换

5、，否则可以考虑域上的矩阵代数，它是半局部的，却可能有无穷多个极大左理想。此外，域除了可以推广为除环之外，还能进一步推广为所谓的左（或右）本原环上；而整环除了可以推广为非交换整环之外，还能推广为所谓的素环；而在局部环与半局部环之间，也还存在着半完全环的概念。对于这样的一些深入的论题，还是等我以后融会贯通之后再来讨论吧。除环上多项式的根很有趣啊最近读Lam的AFirstCourseinNoncommutativeRings（非交换环初级教程），其中第16节讲（非交换）除环上的多项式，顿时让我眼前一亮，原来去掉交换条件之后，多项式根的分布会变得如此有趣。下面我就以实数域R上四元数除环D

6、（由1，i，j，k生成）为例，简单说明一下多项式根分布的几种情形。选这样的除环主要的考虑它是（右）代数闭的，不会因为自身的（代数）封闭性而使得应有的根漏掉。当然，更一般的情形是实数闭域上的四元数除环，书中Niven与Jacobson的一个定理证明了它是代数闭的。先看一个简单的例子1，i，j，k显然都满足方程f(t)=t^2+1，这已经说明了在除环中代数基本定理失效！更值得注意的是，满足此方程的根有无穷多个。事实上，对任何i的共轭元都是方程的根：对任何a∈D，(aia^(-1))^2=ai^2a^(-1)=-1.如果认为非交换性会使得根变多的话，不妨看看下面的例子：g(t)=(t-

7、j)(t-i).千万认为它有两个根j与i，其实只有i才是它的根，我们可以展开g(t)=t^2-(j+i)t+ji=0，得到g(j)=-1-(j+i)j+ji=-2k≠0！问题出在什么地方呢？请注意，作为除环上的多项式，未定元t与除环元素是可交换的，但t=j时，却有ti≠it.也就是说，涉及多项式的乘法运算时，我们不能像交换环那样直接代入。书中给出了一个代入法则，若p(t)=q(t)r(t)∈D(t),则r(d)≠0时，有p(d)=q(h(d)d(h(d))^(-1))r(d).由