strongart数学笔记：从微积分极限到范畴论极限

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1、从微积分极限到范畴论极限极限概念可以说是微积分学的基础，在现代数学中也有着很多形式的推广与变形，下面我就来小结一下从最简单的数列极限到抽象的范畴论极限中大致走过的道路。很多同学刚开始学级数的时候，会感到这个求和过程似曾相识，似乎就是极限的另一个表现形式。大概是某些同学更习惯于求和，便提议说微积分应该从级数开始，这可以说也有一番道理。但级数与数列极限的一个本质差别，就是级数中存在着换序问题，而数列极限则完全没有这方面的顾虑。对此我们可以这样理解，级数就相当于积分，其中个体的作用要比极限更大，因此次序的变更就会可能产生天翻地覆的结果。此外，就是数

2、列极限的连续化要比级数更加自然，很容易就推广到一般函数的极限中去。在探讨深入极限的推广之前，我们要先分析一下极限的两大基本要素：一个是所谓的指标集，另一个则是取值空间。比如在极限lim（x→∞）1/x=0，我们可以说指标集就是R，取值空间就是R。但我们也可以把（n，∞)作为指标集，而把（-1/n,1/n）作为取值空间。事实上，指标集的本质部分就是一个序结构，而取值空间的本质部分则是局部性，它可以用拓扑领域进行刻画。最常见的指标集就是序列，它具有可数性的优点，并且自带一个序关系。但在一些特殊情况下，我们并不能提炼出相应的点列，只能使用更加抽象的

3、偏序关系。为此可以把指标集I抽象化，提炼出正向集的概念，它是指在I内有一个偏序关系≤，使得对任何x、y∈I，总存在z∈y，满足x≤z且y≤z，这里只有最后的共尾关系才是本质的。所谓的网收敛就是这样推广出来的，它的一个典型例子就是通常的Riemann积分，其指标集就是对区间的划分，而偏序关系则是所谓的划分加细。取值空间的推广则是被完美吸收到所谓点集拓扑当中，这里是通过两次公理化过程得到的，先是普通空间的度量概念进行公理化升华，再把度量空间中的开集概念进行公理化升华。拓扑学中的Haudorff性质常常用来保证极限是唯一的，而序列的存在性则是由可数

4、公理来保证。事实上，在拓扑学中网收敛是本质的，是可以直接刻画闭集的，而我们所熟悉序列收敛只是一个常见的弱例而已。对于网收敛，我们还可以换一个角度来思考，认为是相应的邻域在收敛，这就得到了所谓滤子的概念。通俗的讲，网收敛就是点收敛，滤子收敛就是片收敛，这里点中有片，片中有点，它们实际上就是等价的。请看下图，你既可以说是网xi在收敛于中间的点x，也可以说是各个邻域Ni在收敛于点x：一般而言，在分析中我们经常使用网收敛，而在代数中则是喜好滤子收敛。比如在交换代数中，就专门有一个滤链的概念，由它可以专门导出拓扑空间，所谓的p-adic拓扑就是它的特例

5、。请注意，这里的过程实际上是被逆转了的，不是先有空间再研究收敛，而是为了得到相应的收敛关系，反过来定义了新的拓扑空间。当人们熟悉了滤子的片收敛模式之后，便不甘心总是让片收敛于点，可以直接让片收敛于片啊！比如说，在平面上可以让半径为（1+1/n）的圆盘收敛到单位圆盘上，稍微作一个反向思考，我们还能让半径为（1-1/n）的圆盘收敛到单位圆盘上。这样似乎就出现了两种对偶的收敛的模式：带指标的交集与并集。而在这样的交或并之中，似乎会因为空间的重合而损失一些信息，为此我们需要做一个Hausdorff不交化。具体来说，就是把各个片Ni嵌入到空间Xi，其中

6、各Xi是不同的空间，但又都是同一个空间的拷贝，与此同时相应的交或并的关系就变成了投射或嵌入。假设不交化的整体存在，那么它就是所有Xi的直积（或直和）的子集，并满足一些自然的性质：各个投射与投射的复合还是对应的投射（或各个包含与包含的复合还是对应的包含）。反过来，只要我们确认这些自然性质得到满足，便可以断定最后的极限存在，这样得到的极限被称为投射极限（或归纳极限）。只要对拓扑空间中的投射极限与归纳极限做一个抽象概括，我们就得到范畴论中的反向极限与正向极限。以反向极限为代表，最简单的两个例子莫过于直积与抽象交，前者对投射没有任何要求，后者是要求最

7、严格的投射性。从指标集的角度来看，直积的指标是离散的，而抽象交的指标则本质上是完全同方向的。同时，由于引入了这个不交化过程，便使得不论是正向极限中的直和还是反向极限中的直积，都可能远大于原来的空间，这一点恐怕是极限的初创者所始料不及的啦~本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国

8、的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的