2019年高考数学(文)一轮复习不等式选讲 第2节 不等式的证明学案

《2019年高考数学(文)一轮复习不等式选讲 第2节 不等式的证明学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、北师大版2019届高考数学一轮复习学案第二节　不等式的证明[考纲传真]　通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．(对应学生用书第166页)[基础知识填充]1．不等式证明的方法(1)比较法：①求差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b＞0即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法：由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明＞1即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止．这种证法称

2、为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法．(4)几何法：通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的解法称为几何法．(5)放缩法和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．反证法是常用的证明方法．它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立．其证明的步骤是：①作出否定结论的

3、假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．2．几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时．等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

4、α

5、

6、β

7、≥

8、α·β

9、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．7北师大版2019届高考数学一轮复习学案③一般形式的柯西不等式设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2

10、b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．(2)算术—几何平均不等式若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(　　)(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．(　　)(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设

11、的已知条件或已被证明的事实．(　　)(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．(教材改编)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)A．x＞y　　　B．x＜yC．x≥yD．x≤yA　[x－y＝a＋－＝a－b＋＝.由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.]3．(教材改编)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．M≥N　[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2

12、)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2B．]7北师大版2019届高考数学一轮复习学案4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________.【导学号：00090380】4　[由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．]5．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.

13、[证明]　因为x＞0，y＞0，所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.(对应学生用书第167页)比较法证明不等式　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.[证明]　法一：∵－(＋)＝＋＝＋＝＝≥0，∴＋≥＋.10分法二：由于＝＝＝－1≥－1＝1.8分7北师大版2019届高考数学一轮复习学案又a＞0，b＞0，＞0，∴＋≥＋.10分[规律方法]　1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a＞b转化为证明＞1(b＞0)．2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商

14、)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号．[变式训练1]　(2018·长沙模拟)设a，b是非负