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《2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明分层演练文.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2讲不等式的证明1.(2019·长春质量检测(二))(1)如果关于x的不等式
2、x+1
3、+
4、x-5
5、≤m的解集不是空集,求实数m的取值范围;(2)若a,b均为正数,求证:aabb≥abba.解:(1)令y=
6、x+1
7、+
8、x-5
9、=,可知
10、x+1
11、+
12、x-5
13、≥6,故要使不等式
14、x+1
15、+
16、x-5
17、≤m的解集不是空集,只需m≥6.(2)证明:因为a,b均为正数,所以要证aabb≥abba,只需证aa-bbb-a≥1,即证()a-b≥1,当a≥b时,a-b≥0,≥1,可得()a-b≥1;当a<b时,a-b<0,0<<1,可得()a-b>1,故a,b均为正数时,
18、()a-b≥1,当且仅当a=b时等号成立,故aabb≥abba成立.2.(2019·湘中名校联考)已知关于x的不等式
19、x+a
20、<b的解集为{x
21、2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求+的最大值.解:(1)由
22、x+a
23、<b,可得-b-a<x<b-a,所以-b-a=2且b-a=4.解得a=-3,b=1.(2)利用柯西不等式,可得+=(+)≤=×=2,当且仅当=,即t=2时等号成立.当t=2时,+的最大值为2.3.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,求证:++≥.证明:法一:因为(a-d)=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥3·3=9,当且仅
24、当a-b=b-c=c-d时取等号,所以++≥.法二:因为(a-d)=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥=9,当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,所以++≥.4.设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:(1)a+b+c≥;(2)++≥(++).证明:(1)要证a+b+c≥;由于a,b,c>0,因此只需证明(a+b+c)2≥3.即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3.而ab+bc+ca=1,故只需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca),即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.而这可以由ab+bc+ca≤
25、++=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.所以原不等式成立.(2)++=.在(1)中已证a+b+c≥.因此要证原不等式成立,只需证明≥++,即证a+b+c≤1,即证a+b+c≤ab+bc+ca.而a=≤,b≤,c≤,所以a+b+c≤ab+bc+ca.(当且仅当a=b=c=时等号成立)所以原不等式成立.1.求证:+++…+<2.证明:因为<=-,所以+++…+<1++++…+=1+++…+=2-<2.2.(2019·成都第二次诊断性检测)(1)求证:a2+b2+3≥ab+(a+b);(2)已知a,b,c均为实数,且a=x2+2y+,b=y2
26、+2z+,c=z2+2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.证明:(1)因为a2+b2≥2ab,a2+3≥2a,b2+3≥2b,将此三式相加得2(a2+b2+3)≥2ab+2a+2b,所以a2+b2+3≥ab+(a+b).(2)假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0,因为a=x2+2y+,b=y2+2z+,c=z2+2x+,所以a+b+c=(x2+2y+)+(y2+2z+)+(z2+2x+)=(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2+π-3>0,即a+b+c>0与a+b+c≤0矛盾,故假设错误,原命题成立,即a,b,c中至
27、少有一个大于0.3.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是
28、a-b
29、<
30、c-d
31、的充要条件.证明:(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd,得(+)2>(+)2.因此+>+.(2)①若
32、a-b
33、<
34、c-d
35、,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1),得+>+.②若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+
36、b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此
37、a-b
38、<
39、c-d
40、.综上,+>+是
41、a-b
42、<
43、c-d
44、的充要条件.4.设不等式-2<
45、x-1
46、-
47、x+2
48、<0的解集为M,a,b∈M.(1)证明:<.(2)比较
49、1-4ab
50、与2
51、a-b
52、的大小.解:(1)证明:记f(x)=
53、x-1
54、-
55、x+2
56、=由-2<-2x-1<0解得-<x<,即M=,所以≤
57、a
58、+
59、b
60、<×+×=.(2)由(1)得a2<,b2<,因为
61、1-4ab
62、2-4
63、a-b
64、2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=(4a2-1)(4b2-1)>0,故
65、1-4ab
66、
67、2>4
68、a-b
69、2,即
70、1-4ab
71、>2
72、a-b
73、.