2018版高中数学苏教版必修四学案：1.3.1　三角函数的周期性

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修四学案1.3.1　三角函数的周期性学习目标　1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．知识点一　周期函数思考　单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．　梳理　(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个____________T，使得

2、定义域内的每一个x值，都满足________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个____________，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．知识点二　正弦函数、余弦函数、正切函数的周期思考　6π是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期吗？　　梳理　(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.72017-2018学年苏教

3、版高中数学必修四学案(2)正切函数的周期正切函数是周期函数，最小正周期是π.(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝.类型一　求三角函数的周期例1　求下列函数的周期：(1)y＝3sin(x＋)；　(2)y＝2cos(－＋)；　(3)y＝

4、sinx

5、.　　　反思与感悟　求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法．(2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx

6、＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝.(3)观察法(图象法)．跟踪训练1　(1)函数y＝3cos(x－)的最小正周期为________．(2)y＝2cos(ωx＋)的最小正周期为π，则ω＝________.类型二　利用周期求函数值例2　若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f的值．　　反思与感悟　(1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．72017-2018学年苏教版高中数学必修四学案(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题．跟踪训

7、练2　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．　　类型三　函数周期性的综合应用例3　设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7)的值．引申探究将例3中的条件f(x＋2)＝－f(x)改为：f(x)的图象关于x＝1对称，其余条件不变，求f(7)的值．　　　反思与感悟　(1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．(2)如果一个函数是周期函

8、数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．跟踪训练3　设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2.(1)求f(3)；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．　　72017-2018学年苏教版高中数学必修四学案1．下列说法中，正确的是________．(填序号)①因为sin(π－x)＝sinx，所以π是函数y＝sinx的一个周期；②因为tan(2π＋x)＝tanx，所

9、以2π是函数y＝tanx的最小正周期；③因为当x＝时，等式sin(＋x)＝sinx成立，所以是函数y＝sinx的一个周期；④因为cos(x＋)≠cosx，所以不是函数y＝cosx的一个周期．2．函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的周期为，则ω＝________.3．函数y＝cos的最小正周期为________．4．求下列函数的最小正周期．(1)f(x)＝cos(－2x－)；(2)y＝4sin(ax＋)(a≠0)．　　1．函数周期性的理解：(1)对于“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内

10、任意一个x，x＋T仍在定义域内且等式成立．(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数的周期．(3)并不是所有周期函数都有最小正周期．如常数函数f(x)＝C没有最小正周期．2．求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法．(2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝