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1、Gmat数学的经典难题21、如下图，问：1）下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？2）下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？分析：1）由于长方形是由两组分别平行的线段构成的，因此，只要看上左图中水平方向的所有平等线中，可以选出几组两条平行线，竖直方向上的所有平地线中，可以选出几组两条平行线？2）由于长方体是由三组分别平行的平面组成的。因此，只要看上面右图中，平行于长方体上面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面，平行于长方体右面的所有平面中，可以选出几组两个互相平等的两个平面，平行于长方体前面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面。解：1)C25×C27=210(个)因此，左图
2、中共有210个长方形2）C25×C26×C24＝900(个)因此，右图中共有900个长方体22、七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？1）七个人排成一排；2）七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；3）七个人排成一排，某两人必须站在两头；4）七个人排成一排，某两人不能站在两头；5）七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排。1）P77=50402)2P66=14403)2P55=2404)5×5×P55＝24005）2×3×4×P55＝288023、如图，直线A、B、C、D与直线1、2、3、4相交组成9个正方形，图中有点x和点y，一人从点x出发沿着这9个正方形的各边向y走
3、，问从x到y共有多少条最短路线？解：从点x到点y在横向上需过B、C、D，在纵向上需经过2、3、4，而最短路线必要经过（B,C,D,2,3,4），但不能有多余的去走，也即最短路线条数就是B,C,D,2,3,4这6个元素的一个合理排列，则这时原题转化为满足B在C之前，C在D之前，2在3之前，3在4之前，这种情况下B,C,D,2,3,4这6个元素的排列有多少种可能？（注：因若不满足B在C之前，C在D之前，2在3之前，3在4之前这种情况的必非最短路线）可以这样考虑，这6个元素的排列只要知道哪几步是B，C，D去走也就确定了，因为B，C，D的前后顺序是固定的，而余下的三步是2，3，4去分，其前后顺序也是固
4、定的，因而进一步将原题转化为在六步中可以有哪三步给B，C，D，这实际上就是从6个位置中取出3个位置的一个组合，也即C36，因而最短路线共有C36条，实际上也可以看右图：可以看出达到x斜线上方某一大顶点的最短线条等于与这点斜向下相信的两大檐帽点的最短路线条数的和，因此就可得出如下最后一个图等于C36。（注：此题为95年6月GMAT北美考题中一道）注：如果仔细看上边最后一图，实际上很多同学符发现它就是二项展开式的中项，如下：24、抽签口试，共有α＋β张考签。每个考生抽1张考签，抽过的不再放回。考生王某会答其中α张，他是第κ个抽签者（κ≤α＋β），求王某抽到会答考签的概率。解：考虑把α＋β张考签依次
5、抽出来，抽法总数为（α＋β）！。“王某抽到会答考签”即第κ张必须且只须是王某会答的α张之一。第κ张有α种抽法，其他α＋β－1张有（α＋β－1）！种抽法；因此组成随机事件“王某抽到会答考签”的抽法数为α·（α＋β－1）！，所求概率值得注意的是这概率与κ无关，说明考生不管先抽后抽，抽到会答考签的概率都一样。25、把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由。分析与解答：因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中棋子数不一样，所以7个盒中共有的棋子数至少为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝
6、28。但题目中只给了27枚棋子，所以，题中要求不能办到。26、x＋y＋z=1993有多少组正整数解？解：x=1991,则y＋z=2,∴y=z=11组x=1990,则y＋z=3,∴或2组x=1989,则y＋z=4,3组x=1988,则y＋z=5,4组…x=2,则y＋z=1991,…1990组x=1,则y＋z=1992,…1991组显然，x不能等于1992，1993。所以，原方程的不同的整数解的组数是：1＋2＋3＋…＋1991＝1983036本题中运用了分类的思想，先按照x的值分类，在每一类中，又从y的角度来分类，如：x=1987时，因为y＋z=6，且y、z均为正整数，所以y最小取1，最大取5,即
7、按y=1,2,3,4,5分类，每一类对应一组解，因此，x=1987时，共5给解。27、将自然数如下排列：在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？分析与解答不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45o，就成为三角阵（如右图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则
