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1、高中数学恒成立和存在性问题篇一：高三数学之恒成立问题与存在性问题专题高三第二轮复习专题：含参不等式恒成立与存在性问题1、关于x的不等式x2?4x?m?0在区间［1,5］上恒成立,求实数m的取值范围变式1：不等式x2?4mx?1?0对?x?[1,5]恒成立,求实数m的取值范围.变式2：不等式x2?4mx?1?0对?x?[?1,5]恒成立,求实数m的取值范围.变式3：不等式x2?mx?2?0对?m?[?1,3恒成立,求实数x的取值范围.]2、已知函数f(x)?x2?x?2（1）若f(x)?a在[1,3]上有解，求实
2、数a的取值范围；（2）若f(x)?a在[1，3]上恒成立，求实数a的取值范围.3、已知两个函数f(x)?8x2?16x?k,g(x)?2x3?5x2?4x,其中k为实数.14（1）对任意x?[?3,3]，都有f(x)?g(x)成立，求实数k的取值范围；（2）存在x?[?3,3]，使f(x)?g(x)，求实数k的取值范围；（3）对任意x1,x2?[?3,3]，都有f(x1)?g(x2)，求实数k的取值范围.参考答案：1、(最值法):设f(x)?x2?4x?m,x?[1,5]问题等价于f(x)max?0，∵f(x)
3、?(x?2)2?m?4?f(5)?m?5∴m?5?0,即m??5（分离参数法）问题?m??x2?4x在区间［1，5］上恒成立记g(x)??x2?4xx∈[1,5]，则问题?m?g(x)min，?g(x)??(x?2)?4,x?[1,5]g(x)min?g(5)??5,?m??522由x?4mx?1?0得m?(x?)x?[1,5]变式1、114x令f(x)?1414(x?1x141x)?f?(x)?14(1?1x2)?0对?x?[1,5]都成立?f(x)?(x?)在x?[1,5]上是单调增函数?f(x)max?f
4、(5)?1310?m?13102根据函数f(x)的图象可知，变式2、设f(x)?x?4mx?1,x?[?1,5]，???m??问题等价于即??f(?1)?04m?065?f(5)?0?20m?24?0142变式3、设f(m)=-x?m?x?2,则f(m)?0在m?[-1,3]上恒成立，它的图象是一条线段，?f(?1)?0?x2?x?2?0??得x?1或x?2则问题???2f(3)?0???x?3x?2?02、解：（1）?f(x)?x2?x?2?(x?)2?2194,又x?[1,3],?f(x)在[1，3]上有最
5、大值f(3)?10,?a?10.（2）f(x)?x2?x?2在[1，3]上有最小值f(1)?0,?a?0.3、解：设F(x)?g(x)?f(x)?2x3?3x2?12x?k.（1）对任意x?[?3,3]，都有f(x)?g(x)成立，转化为x?[?3,3]时，F(x)?0恒成立.故[F(x)]min?0.令F?(x)?6x2?6x?12?6(x?1)(x?2)?0,得x??1或x?2?F(x)在[-3,-1]和[2,3]上是增函数,在[-1,2]上是减函数,由F(?1)?7?k,F(2)?k?20,F(?3)?k
6、?45,F(3)?k?9,故[F(x)]min?k?45,由k?45?0,得k?45(2)存在x?[?3,3],使f(x)?g(x)成立,即F(x)?0在x?[?3,3]内有解,14故[F(x)]max?0由(1)知[F(x)]max?k?7.于是k?7?0得k??7.(3)该问与(1)虽然都是不等式恒成立的问题.但有很大的区别,对任意的任意x1,x2?[?3,3]，都有f(x1)?g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同,x1,x2的取值在[?3,3]上具有任意性,因而要使原不等式恒成立的充要条件是[
7、f(x)]max?[g(x)]min,x?[?3,3].由g?(x)?6x2?10x?4?0,得x??23或x??1易知[g(x)]min?g(?3)?21.又f(x)?8(x?1)2?8?k,x?[?3,3],故[f(x)]max?f(3)?120?k,由120?k??21,得k?141.篇二：高一数学必修一《恒成立与存在性问题》专题复习第一部分《零点问题》专题复习利用函数零点的存在定理确定出零点是否存在，或者通过解方程，数形结合解出其零点。（1）可以利用零点的存在性定理或直接解方程求出零点。（2）可以利用零
8、点的存在性定理或利用两函数图象的交点来确定函数是否有零点。对函数零点存在的判断中，必须强调：（1）f（x）在（a，b）上连续（2）f（a）f（b）《0（3）在（a，b）上存在零点专题训练：1、函数f?x????4x?4,x?1?14x2?4x?3,x?1的图象和函数g?x??log2x的图象的交点个数是A.4B.3C.2D.12、函数f(x)?log2x?2x?1的零点必落在区间（）A
