傅里叶变换傅里叶级数教学内容傅里叶级数教学要求

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1、第八章傅里叶变换第一节傅里叶级数教学内容：傅里叶级数.教学要求：1、正确理解傅里叶级数的复指数形式2、了解基频、振幅、相位、离散频谱、离散振幅和离散相位谱教学过程：一、傅里叶级数的指数形式1804年，傅里叶研究热传导时提出有限区间上任意函数可以表示为正弦和余弦的和，1829年狄利克雷证明了如下的定理，为傅里叶级数建立了理论基础：定理8.1设是以为周期的实函数，且在上满足狄氏条件，即在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点则在连续点处，有其中16在间断点处，式右端级数收敛于.根据工程上的习惯，则，于是

2、,上面的傅里叶级数可以表示为：令，则其中.称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义.如果令16则，这说明如果代表信号，那么一个周期为的信号可以分解成简谐波的和，这些谐波的频率分别为基频的倍数，换句话说，信号并不含有各种频率的成分，而仅由一系列具有离散频率的谐波所构成，其中反映了频率为的谐波在中所占的份额，称为振幅，反映了频率为的谐波沿时间轴移动的大小，称为相位.作为复数，可以完全刻画信号的频率特性，称为的离散频谱，称为离散振幅谱，称为离散相位谱.例8.1求以为周期的函数的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式.解令，当时，，当时，

3、16所以的傅里叶级数的复指数形式为：.振幅谱为相位谱为16第二节傅里叶积分与傅里叶变换教学内容：傅氏积分与傅氏变换教学要求：1、理解函数的傅里叶积分公式2、正确理解傅里叶变换的概念3、掌握求函数的傅里叶变换一、傅里叶积分任何一个非周期函数,都可看成是由某个周期函数当时转化而来的，即由是周期函数，可以知道，，所以可以得到令，，，则因此按照积分的定义，在一定条件下，上面表达式可以写成：16称为函数的傅氏积分公式定理8.2若在(-∞,+∞)上满足条件:(1)在任一有限区间上满足狄氏条件;(2)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积.则上述定理称

4、为傅氏积分定理.可以证明，当满足傅氏积分定理条件时，公式可以写为三角形式，根据欧拉公式有因为实部和虚部分别是的偶函数和奇函数，所以进而可以得到二、傅里叶变换16令，，；则有＝．定义了一个变换对，也称为的像函数；为的原像函数还可以将和用箭头连接:例8.2求函数的傅氏变换及其积分表达式，其中，这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到解根据定义,有这就是函数的积分表达式．因此此表达式可以用来计算一些广义积分．16例8.3求矩形脉冲函数的付氏变换及其积分表达式.解根据定义,有这样就得到了矩形脉冲函数的傅里叶积分变换和傅里叶积分表达式.进一步可

5、以得到，因此可知当时，，振幅谱为，相位谱为例8.4已知的频谱为，其中，求.解16第三节傅氏变换的性质教学内容：傅里叶变换的基本性质、卷积定理、综合举例教学要求：1、了解卷积定理，卷积2、掌握傅里叶变换的基本性质3、掌握傅里叶变换的性质的应用教学过程：一、傅里叶变换的基本性质1、线性性质证明设，，为实数，则；2、位移性质，为实数，则；证明做变量代换.3、相似性质，为非零实数，则证明令，则当时，16当时，总之可以得到4、微分性质若，则；.证明可以得到因而根据数学归纳法可以得到同理可以证明（可以用来求的傅里叶积分变换）5、积分性质设，若，则

6、证明由于，根据微分性质，可以得到，因此可以得到16.6、帕塞瓦尔等式设，则证明由于，所以.7、对称性证明因为，所以，因此.例8.10已知（为实常数），求.解（其中利用了位移性质）16例8.11已知抽样信号的频谱为求信号的频谱.解例8.12求积分的值.解因为的傅里叶积分变换为令，则，考虑到被积函数是偶函数，所以.二、卷积定理1、卷积定义，设与在实数集上定义，若反常积分对任何实数都收敛，它们定义了一个函数，称为与卷积，即.性质：(1)，16(2)(3)2、卷积定理设，则有例8.13求下列函数的卷积其中，.解由定义当时，当时，所以例8.14

7、求下列函数的卷积.解由16当时，当时，当时，总之例8.15求下列函数的卷积其中，.解设，则根据卷积定理，可以得到.例8.16设，求.解由于16.三、综合举例例8.17设是以周期为的实值函数，且在上满足狄利克雷条件，证明其中，为的离散频谱.证明由题意有，所以.例8.18设是定义在上的实值函数，且存在傅里叶积分变换，证明16.证明，则，16