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1、第十六章傅里叶(Fourier)级数§1.函数的Fourier级数展开§2.Fourier级数的收敛判别法§3.Fourier级数的性质§4.Fourier变换和Fourier积分§5.快速Fourier变换简介〖教学安排〗16-1函数的Fourier级数展开1．Fourier级数的背景寻求用简单函数较好地近似代替复杂函数的途径一直是数学家和工程技术人员积极探索的问题.例如,用n次Taylor多项式逼近函数f(x).1．Fourier级数的背景1．Fourier级数的背景如果在的某邻域内，连续，存在，且时，1．Fourier级数的背景在实际问题中,经常要和随
2、时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:t1．Fourier级数的背景方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近1．Fourier级数的背景十九世纪初，法国数学家JosephFourier(1768-1830)在他的“热的解析理论”一书中通过大量实例得出，具有常系数的三角级数能够表示一类广泛的函数，甚至对具有跳跃间断的函数，都可以用上式表示出来。后来人们称这种级数为Fourier级数.1．Fourier级数的背景与Taylor级数相比,Fourier级数展开对于函数f(x)的要求要宽容的多,更为重要的是,Fourier级数的部分和在整个区间上与函数f(x)吻
3、合的较好.经过Cauchy,Dirichlet等数学家的大力推广,Fourier级数被认为不仅是声学,光学,热力学,电学等领域的强有力工具,而且在数学理论研究方面也具有核心地位.2.基本三角函数系定义1设平方可积函数f(x)和g(x)定义于区间[a,b]上.称数若,则称函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上正交.为函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的内积.2.基本三角函数系定义2对平方可积实值函数系如果,则称它为区间上的正交函数系.如果是区间上的正交函数系且平方可积,函数的”长度”则称是区间上的标准正交函数系.上的2.基本三角函数系是区间上的正交函数
4、系.是区间上的标准正交函数系.以为周期的三角函数系3.正交级数展开假设是区间上的正交函数系.定义于区间上,能否找到使得?如果系数3.正交级数展开假设是区间上的正交函数系.定义于区间上,且有则如果广义Fourier级数.此级数称为函数f(x)的正交级数展开或4.周期为的函数的Fourier级数假设(1)是上以为周期的函数,且在区间上黎曼可积或在反常积分意义下绝对可积;(2)可以表示成如下形式的级数且(1)在上一致成立,求其中的系数.(1)4.周期为的函数的Fourier级数称上述为函数的Fourier系数,构成的三角级数称为级数,记作由Fourier系数的Fo
5、urier展成Fourier级数.例1将以为周期的函数展成Fourier级数.例2将以为周期的函数注:以上公式中的积分可以换成长度为的任意区间,例如,,假设是上以为周期的函数,且在区间上黎曼可积或在反常积分意义下绝5.正弦级数和余弦级数对可积.如果f(x)为奇函数,则此时,f(x)的Fourier级数称为正弦级数,即5.正弦级数和余弦级数如果f(x)为偶函数,则此时,f(x)的Fourier级数称为余弦级数,即例3将下列函数展成Fourier级数6.一般周期函数的Fourier级数假设是上以期的函数,且在区间可积或在反常积分意义下绝对可积;则f(x)的Fou
6、rier级数为(1)为周上黎曼其中假设是上以为周期的函数,且在区间上黎曼可积或在反常积分意义下绝对可积如果f(x)为奇函数,则此时,f(x)的Fourier级数称为正弦级数,即6.一般周期函数的Fourier级数如果f(x)为偶函数,则此时,f(x)的Fourier级数称为余弦级数,即6.一般周期函数的Fourier级数例4将周期函数展开成为Fourier级数.例5将周期函数展开成为Fourier级数.,7.非周期函数的Fourier级数(1)如果函数仅定义在长度为的区间上,例如定义在或上,此时不是周期函数,从而不能按上述周期函数的方法展开为Fourier级
7、数.采用周期延拓法将f(x)展开为Fourier级数.例6将函数展开成为Fourier级数.,当函数f(x)定义于上时，要将它展成Fourier级数，通常先将它延拓成上的奇函数(称为奇延拓)或偶函数(称为偶延拓),再展成Fourier级数,从而得到f(x)在上的Fourier级数展开.(2)定义于上函数的展开奇延拓:将函数f(x)延拓成上的奇函数，就可得到周期奇函数在上的Fourier级数，从而得到f(x)在上的Fourier展开式偶延拓:将函数f(x)延拓成上的偶函数，就可得到周期偶函数在上的Fourier级数，从而得到f(x)在上的Fourier展开式例
8、7将下列函数在展成Fourier级数例8将函数在展成
