必修1数学-幂函数与函数方程

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1、幂函数与函数的零点一、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．课堂练习1，比较下列各式大小（1）1.5，1.7，1；　　（2）（－），（－），1.1；（3）3.8，3.9，（－1.

2、8）；　　（4）31.4，51.5.2，函数y＝（x2－2x）的定义域是（　　）A．{x

3、x≠0或x≠2}　　B．（－∞，0）（2，＋∞）　C．（－∞，0）［2，＋∞　）　D．（0，2）3，函数y＝的单调递减区间为（　　）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞　］D．（－∞，＋∞）4，如图，曲线c1,c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，那么一定有（　　）A．nn>0D．n>m>045，下列命题中正确的是（  ）A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C．

4、幂函数的图象不可能在第四象限内　D．若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数6,下列命题正确的是（ ）A.幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数B.图象不经过（-1，1）为点的幂函数一定不是偶函数C.如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同D.如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数7,用“<”或”>”连结下列各式：，．8,设x∈(0,1)，幂函数y＝的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是二、方程的根与函数的零点1．函数零点的概念：对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。2．函数零点与方程根的关系：方程有实数根函数的图

5、象与有点函数有零点3．函数零点的存在性定理：如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。注：若恒成立，则没有零点。4、函数零点的求法：（代数法）求方程的实数根；4（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．5、二次函数的零点：二次函数．（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程

6、无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．6.二分法(1)对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。.(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;第二步，求区间(a,b)的中点c;第三步，计算f(c);(ⅰ)若f(c)=0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈

7、(a,c));(ⅲ)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).第四步,判断是否达到精确度ε:即若

8、a-b

9、<ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.例1，(1)已知区间①(-2，-1)，②(-1，0)，③(0，1)，④(1，2)，⑤(2，3)，则三次方程x3+x2-2x-1=0在哪些区间上有根?练习1，判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）（2）4（3）（4）例2，用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度为0.1).解：由于f(1)=1-1-1=-1<0，f(1

10、.5)=3.375-1.5-1=0.875>0，所以f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算列表如下：端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间

11、an-bn

12、[1,1.5]0.51,25f(1.25)<0[1.25,1.5]0.251.375f(1.375)>0[1.25,1.375]0.1251.3125f(1.3125)<0[1.3125,1.375]0.0625因为

13、1.375-1.3125

14、=0.0625<0.1,所以函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375

15、]内,故函数零点的近似值为1.3125.例3，函数f(x)=3ax+1-2a,在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是()A.-11/