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《数列的通项公式和求和法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、专题一：数列通项公式的求法详解一、观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）.二公式法1：特殊数列例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，求数列{an}和{bn}的通项公式；答案：an=a1+(n－1)d=2(n－1)；
2、bn=b·qn－1=4·(－2)n－1例3.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）(A)(B)(C)(D)例4.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式简析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，易得.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.公式法2：知利用公式.例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）.（2）答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.三累加法(
3、逐差相加法)递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法求解。简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;6②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例6：已知的首项，（）求通项公式。解：……∴例7.若在数列中，，，求通项.答案：=例8.若在数列中，，，求通项.例9已知数列满足，，求此数列
4、的通项公式答案：四累乘法(逐商相乘法)递推公式为（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例10：在数列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表达式。解：由(n+1)·=n·得，=··…=所以点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当（相乘）的值可以求得时，宜采用此方法。由和确定的递推数列的通项可如下求得：练习：1已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式..答案：2已知,求数列{an}的通项公式.分析：原式化为令,则题转化为形式
5、累积得解.五、构造特殊数列法（三个类型）类型1递推公式为（其中p，q均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例11.已知数列中，，，求数列的通项公式。解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.6所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型2递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：。引入辅助数列（其中），得：再应用类型1的方法解决。例12.已知数列中，,，求数列的通项公式。解：在两边乘以得
6、：令，则,应用例11解法得：所以类型3递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型1的方法求解。例13.已知数列中，,,，求数列的通项公式。解：由可转化为即或，这里不妨选用（当然也可选用，），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用累加法，即所以。类型4倒数为特殊数列【形如】例14：已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式.由已知得：，。∴为等差数列，6，公差为1，∴，所以六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例15：数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式.
7、解析：由题得①时，②由①、②得.练习数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式七、待定系数法：例16：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，。例17.已知数列中，；数列中，。当时，,，求数列、的通项公式。解：因所以即…（1）又所以…….即…（2）由（1）、（2）得：，专题二：数列求和方法详解（六种方
8、法）一、公式法很多求和问题可以利用(等差、等比)数列的前n项和公式解决,在具体问题中记住并熟练应用下列几个常用公式：①;②;③④;⑤例18:已知数列的通项公式为,求其前n项和6解:二倒序相加法此法是在推导差数列的前n项和公式时所用的方法，相加例19:已知，则由∴原式练习求的值.答案S＝44.5三、错位相减法方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法
