二次函数实根分布

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1、二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。　　设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。　　1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：　　∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f(x)的图象有下列两种情形(图1)　　当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f(β)＞0　　当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-

2、b/2a＜β，f(α)＜0，f(β)＜0　　两种情形合并后的充要条件是：　　Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af(β)＞0  ①　　2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件：　　∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2）　　从四种情形得充要条件是：　　f(α)·f(β)＜0　　　　　　②　　3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件：　　（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时：　　∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）：　　当a＞0时的充要条件是：f(α)＜0，f(β

3、)＜0　　当a＞0时的充要条件是：f(α)＞0，f(β)＞0　　两种情形合并后的充要条件是：　　　　af(α)＜0，af(β)＜0　　　　　③　　（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时：　　∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）：　　当x1＜x2＜α时的充要条件是：　　Δ＞0，-b/2a＜α，af(α)＞0　　　　④　　当β＜x1＜x2时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＞β，af(β)＞0　　　　　⑤二次函数与二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立，经常要用到二次函数的极值性

4、质、单调性、图象与x轴的位置关系等。例题讲解1.已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P的取值为　　　　　。2.如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，试确定m的范围。1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x无实根，求证：方程f[f(x)]=x也无实根，2.对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求证，必存在x=±M≠0，使f(±M)均与a同号。3.若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，求证：（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤(a12+a22+…+a2n)(b12+b2

5、2+…+b2n)6．设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0＜x1＜x2＜1/a。　　（1）当x∈(0,x1)时，证明x＜f(x)＜x1　　（2）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜x1/2。7．当K为什么实数时，关于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根α和β分别满足0＜α＜1和1＜β＜2？8．函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在［-3,3］上的最小值是　　　　。例题答案：1．解：记f(x)=x2+2px+1，则f(x)r的图象开口向上，当f(x)与x轴的两交点一个在（1,0

6、）左方，另一个在（1,0）右方时，必有f(1)＜0，即：12+2P＋1＜0，即P＜－1　　所以P的取值为（－∞，－1）2．解：令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一（图5）：　　得充要条件：（1-m2）f(0)＜0,(1-m2)f(1)＜0；即1-m2＞0,(1-m2)(2m-m2)＜0　　解得：-1＜m＜03．证明：已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)　　方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即Δ=(b-1)2-4ac＜0　　若a＞0，则函

7、数y=f(x)-x的图象在x轴上方，　　∴y＞0，即f(x)-x＞0恒成立，即：f(x)＞x对任意实数x恒成立。　　∴对f(x)，　　有f(f(x))＞f(x)＞x恒成立　　∴f(f(x))=x无实根　　若a＜0，函数y=f(x)-x的图象在x轴下方　　∴y＜0，即f(x)-x＜0恒成立　　∴对任意实数x，f(x)＜0恒成立　　∴对实数f(x)，有：f(f(x))＜f(x)＜x恒成立　　∴f(f(x))=x无实根　　综上可知，当f(