椭圆的几何性质学案2

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1、第5课时椭圆的几何性质(2)教学过程一、数学运用【例1】(教材第35页例2)如图(1),我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B(离地面最远的点)距地面2384km,AB是椭圆的长轴,地球的半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程.[1](见学生用书P23)(例1(1))[处理建议]引导学生先建立适当的直角坐标系,再分析题意寻求a,b,c的关系,从而求出a,b的值.[规范板书]解如图(2),以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,AB与地球

2、交于C,D两点.设椭圆的方程为+=1(a>b>0).(例1(2))由题意知AC=439,BD=2384,F2C=F2D=6371.a-c=OA-OF2=F2A=6371+439=6810,a+c=OB+OF2=F2B=6371+2384=8755,解得a=7782.5,c=972.5.所以b==≈7721.因此,卫星运行的轨道方程为+=1.[题后反思]椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c.利用a,b,c之间的关系,求出a,b的值得到椭圆的方程.本题旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识.【例2】已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦

3、点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2为正三角形,求椭圆的离心率.(见学生用书P24)[处理建议]引导学生根据题意画出图形,将“△ABF2为正三角形”转化为关于a,b,c的关系式,从而得到关于离心率e的方程.(例2)[规范板书]解设F1(-c,0),则A,所以AF1=.因为△ABF2为正三角形,所以2c=,即b2=2ac,所以(a2-c2)=2ac,两边同时除以a2,整理得e2+2e-=0,解得e=或-(舍去).所以e=.[题后反思]求离心率的关键是能得到关于a,b,c之间的一组关系,通过化简变形得到关于的方程,将换成e解关于e的方程即可.变式

4、1已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,B是椭圆的上顶点.若△F1BF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.[处理建议]同例2的解题思路,强化求离心率的关键点.[规范板书]解根据题意可得b=c,即b2=c2,所以a2-c2=c2,即a2=2c2,所以e=.[题后反思]本题主要训练学生求离心率的思路和方法,并为下一个变式求离心率的范围作铺垫.变式2已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,B是椭圆上一点.若∠F1BF2为直角,求椭圆的离心率的范围.[处理建议]让学生思考,比较变式2与变式1的异同,加深对离心率的值和离心率的范围的认识.[

5、规范板书]解法一设BF1=m,BF2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2.又m2+n2≥,所以4c2≥2a2,所以e2≥,所以e≥.又0

6、,得到不等关系;④利用焦半径的取值范围是[a-c,a+c],得到不等关系.(变式3)变式3如图,F1,F2分别是椭圆+=1(a>2)的左、右焦点,如果在椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=120°,求a的取值范围.[处理建议]本题和变式2的解决方法完全相同,在时间允许的情况下可以让学生动手独立用两种方法完成,也可以作为课后练习.[规范板书]解法一设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a.因为∠F1PF2=120°,所以=-,即=-,4a2-2mn-4c2=-mn,所以mn=4b2.因为(m+n)2≥4mn,则4a2≥16b2,所以2a≥4b,即a≥2b,所以a≥4,即a

7、∈[4,+∞).解法二设B为椭圆短轴的一个端点,根据∠F1BF2≥120°,于是有a≥2b=4,即a∈[4,+∞).[题后反思]本题旨在帮助学生进一步掌握对焦半径的处理方式以及椭圆上的点对两焦点的张角的最大值的理解和应用.特别强调是对两焦点的张角而不是对长轴两端点的张角.【例3】已知P为椭圆+=1(a>b>0)上任意一点(异于顶点),椭圆短轴的两个端点分别是B1,B2.若直线PB1,PB2分别与x轴交于点M,N,求证:OM·ON为定值.[处理建议]本题有一定难度,旨在让学生接触解析几何中的定值问题,课堂中能将上述2例讲清并给足学生充足时间做好课堂练习