时间序列分析与建模简介

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1、9（2004年教案）辨识与自适应第五章第五章时间序列分析与建模简介时间序列建模（Modellingviatimeseries）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box和Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。引言根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理

2、统计。有时域和频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划）、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。§5—1ARMA模型分析一、模型类把具有相关性的观测数据组成的时间序列{xk}视为以正态同分布白噪声序列{ak}为输入的动态系统的输出。用差分模型ARMA(n,m)为F(z-1)xk=q(z-1)ak式（5-1-1）9（2004年教案）辨识与自适应第五章其中：F(z-1)=1-f1z-1-…-fnz-nq

3、(z-1)=1-q1z-1-…-qmz-m离散传函式（5-1-2）为与参考书符号一致，以下用B表示时间后移算子即：Bxk=xk-1B即z-1，B2即z-2…F(B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；q(B)=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。二、关于格林函数和时间序列的稳定性1．格林函数Gi格林函数Gi用以把xt表示成at及at既往值的线性组合。式（5-1-3）GI可以由下式用长除法求得：例1．AR(1):xt-f1xt-1=at9（2004年教案）辨识与自适应第五章即：Gj

4、=f1j（显示）例2．ARMA(1,1):xt-f1xt-1=at-q1atG0=1;Gj=(f1-q1)f1j-1,j³1（显示）例3．ARMA(2,1)(1-f1B-f2B2)xt=(at-q1B)at得出：G0=1G1=f0G0-q1G2=f1G1+f2G0.....Gj=f1Gj-1+f2Gj-2（j³2）Gj为满足方程(1-f1B-f2B2)Gj=0的解，称为隐式表达式。该结论可推广到ARMA(n,m)模型。2．格林函数与系统稳定性当j®µ时：Gj®有界，则系统稳定；Gj®衰减，则系统渐进稳定；Gj

5、发散，则系统不稳定。例：AR(1):Gj=f1j当êfê<1时，Gj®衰减，渐进稳定；9（2004年教案）辨识与自适应第五章当êfê=1时，Gj=f1j=1，有界，则系统稳定；当êfê>1时，Gj发散，不稳定。例：ARMA(2,1)l1和l2和为特征方程的根，有l1+l2=f1和l1l2=f2当êl1ê<1且êl2ê<1时，ARMA(2,1)渐进稳定；当êl1ê=1且êl2ê<1或êl1ê<1且êl2ê=1时，ARMA(2,1)稳定；当êl1ê=êl2ê且或l1=l2（两根同号）时，不稳定。由此得出ARMA(

6、2,×)的稳定域如下图所示。9（2004年教案）辨识与自适应第五章ARMA(2,m)的稳定域三、逆函数与逆稳定性逆函数Ij表示xt的既往值对当前值的影响，与格林函数Gj表示既往的at值对xt的影响正相反。定义：即：或：at=(1-I1B-I2B2-…)xtat格林函数xtxt逆函数at9（2004年教案）辨识与自适应第五章系统逆稳定的条件是q(B)的根ênê<1（落在单位园内）。合理的模型不仅要求是稳定的，也要求是逆稳定的，因为如果ênê>1，即意味着过时愈久的xt的老数据对xt的现在值影响愈大，这显然是不合

7、理的。5.自协方差函数与偏自相关函数及其截尾性(略)§5—2时间序列建模及其应用一、关于吴宪民andPandit的建模策略简介ARMA(n,m)模型,当n和m设定后,可由非线心、非线性最小二乘法估计参数,并计算出残差平方总和(R.S.S.)。设定不同的n和m值，用F检验比较R.S.S.，确定合理的n、m值。穷举法（最笨的建模策略）：高阶模型要做很多次搜索，计算量大。吴宪民—Pandit建模策略目的是减少建模的搜索次数。策略可概括为：10.按照ARMA(2n,2n-1)拟合模型，即当n®n+1时，模型增加2阶，

8、理由是过程的基点往往是成对的。20.检查ARMA(2n,2n-1)模型的高阶项参数f2n和q2n-19（2004年教案）辨识与自适应第五章的绝对值是否很小，它们的置信区间是否包含零在内？若是，则进一步拟合下降一阶后的模型ARMA(2n-1,2n-2)，并用F检验检查。30.探索进一步降低MA的阶次的可能性，即设ARMA(2n-1,m)，m<2n–1，用F检验确定。补充：关于参数估计误差的置信区间假定