2.1 一元二次方程

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1、2.1一元二次方程一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则，，∴

2、x1－x2

3、＝．于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则

4、x1－x2

5、＝（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例1若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．解：设x1，x2是方程的两根，则x1x2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2

6、－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜．∴a的取值范围是a＜4．习题2.1A组1．选择题:（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（2）下列四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（

7、）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－12．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则

8、x1－x2

9、＝．3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．B组1．选择题:若关于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的

10、两根互为相反数，则k的值为（）（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：（1）

11、x1－x2

12、和；（2）x13＋x23．5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根

13、为x1，x2满足

14、x1－x2

15、＝2，求实数m的值．C组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A）（B）3（C）6（D）9（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值为（）（A）6（B）4（C）3（D）（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（）（A）α＋β≥（B）α＋β≤（C）α＋β≥1（D）α＋β≤1（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是（）（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根

16、（C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝．3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，，试求的值．4．已知关于x的方程．（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足

17、x2

18、＝

19、x1

20、＋2，求m的值及相应的x1，x2．5．若关于x的方程

21、x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．