以错纠错的研究论文

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1、以错纠错的研究论文以错纠错的研究论文以错纠错的研究论文以错纠错的研究论文以错纠错的研究论文　　“以错纠错”的案例分析　　文／罗增儒　　在文［1］中，笔者认为：“学生在解题中出错是学习活动的必然现象，教师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学”．下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象，竟能在多家刊物延续十年之久，则促使笔者进一步思考：错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求．　　一、出示案例　　我们先引述3处典型做法．　　1.早在1990年，文［2］曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题

2、中的消极影响”；然后在文［3］、［4］中表达了同样的看法．最近又在文［5］中将欠妥的认识原原本本发表出来：　　例1若＝8，＝1，求．　　学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉，受其影响，产生了下列错误解法：　　由　　＝8，　　＝1．　　得　　3ａn＋4ｂn＝8，①　　6ａn-ｂn＝1．②　　①×2－②，可得　　ｂn＝15／9，　　并求得ａn＝4／9．　　∴＝3ａn＋ｂn＝12／9＋15／9＝3．　　这是一种错误的解法．因为按照极限运算法则，若ａn＝Ａ，ｂn＝Ｂ，则才有＝ａn＋ｂn＝Ａ＋Ｂ．反之不真，而由＝8，　　＝1，　　不一定保证ａn与ｂn存在．比如　　ａn＝4／

3、3＋ｎ2，ｂn＝1－ｎ2，　　则有＝8，　　但是ａn与ｂn均不存在极限．　　正解：＝＋　　＝8／3＋1／3＝3．　　某些法则或定理，其结论是在限定条件下产生的．如果平时练习，限定条件的问题练多了，就容易忽视限定条件，造成对法则、定理理解的偏差，产生定势思维．教师在课堂教学时，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲，就是让学生认识到条件在结论中的重要地位，把条件与结论等同起来强调，并通过恰当的反例来说明．　　要克服思维定势的消极影响，就要从加强双基教学入手，加强数学基本思想和方法的训练，排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势，鼓励和引导学生独立思考、探索

4、最佳解题方法，让学生从不同角度多方位地去考虑问题，拓展思维的深度与广度．　　2.数学通报1999年第11期文［6］记述了一次公开课：在一次公开课评比中，有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时，曾举了这样一个例子：　　例2已知＝5，＝2，求．　　当时有位学生提出这样一种解法：　　解：设ａn＝Ａ，ｂn＝Ｂ，则由题设可知　　＝2ａn＋3ｂn＝2Ａ＋3Ｂ＝5，①　　＝ａn－ｂn＝Ａ－Ｂ＝2．②　　联立①，②解得　　Ａ＝11／5，Ｂ＝1／5．　　∴＝ａn＋ｂn＝Ａ＋Ｂ＝11／5＋1／5＝12／5．　　对于上述解法，这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题：ａn和ｂn一定

5、存在吗?　　随后，教师鲜明地指出：由题设我们不能判断ａn和ｂn是否一定存在，从而上述解法缺乏依据，是错误的．关于这类问题，我们常用“待定系数法”求解．　　另解：设ａn＋ｂn＝ｘ＋ｙ，则　　ａn＋ｂn＝ａn＋ｂn，　　从而有　　2ｘ＋ｙ＝1，　　3ｘ－ｙ＝1．　　解之得ｘ＝2／5，ｙ＝1／5．　　∴ａn＋ｂn＝＋，　　∴＝［＋］＝＋＝2／5×5＋1／5×2＝12／5．　　这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则，又充分暴露了学生存在的问题，给学生留下了极为深刻的印象，深受评委们的一致好评．　　3.江苏省常州高级中学数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析》，其第

6、6章题30如下：　　例3已知＝7，＝4，求之值．　　误解：∵＝7，＝4，　　∴　　2ａn＋3ｂn＝7，①　　3ａn－2ｂn＝4．②　　①×2＋②×3，得　　13ａn＝26，　　∴ａn＝2．　　代入式①，得　　ｂn＝1．　　∴＝2ａn＋ｂn＝2×2＋1＝5．　　正确解法：设ｍ＋ｐ＝ｋ．　　其中ｍ，ｐ，ｋ均为待定的整数，则比较ａn，ｂn的系数得　　2ｍ＋3ｐ＝2ｋ，①　　3ｍ－2ｐ＝ｋ．②　　由式①、②消去ｋ，得　　2ｍ＋3ｐ＝2＝6ｍ－4ｐ，　　∴4ｍ＝7ｐ．　　当ｍ，ｐ分别取7和4时，ｋ＝13．　　∴2ａn＋ｂn＝＋．　　∴＝＋＝7／13×7＋4／13×4＝5．　　错因分

7、析与解题指导：已知＝7，＝4，并不意味着ａn、ｂn存在，在误解中利用数列极限的运算法则：＝ａn±ｂn，默认ａn与ｂn存在，这是错误的．要求，就必须将2ａn＋ｂn去用与表示出来，为此可以用如正确解答中那样用待定系数法来解．显然ｍ、ｐ的值不是惟一的，但是对不同的ｍ、ｐ之值求得的极限值是相同的，因此可以取使计算较为方便的整数值．　　以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别，而教师的看法是完全一致的．类似的看法还可参见文［8］～［12］．　　虽然，大家的看法如此一致，如此长久，但文［6］的作者仍能力排众议，大声发问：“由题设，真的不