数形结合思想论文：浅谈数形结合思想在实际问题中的应用

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1、数形结合思想论文：浅谈数形结合思想在实际问题中的应用中图分类号：g633.6文献标识码：a文章编号：1671-0568（2011）24-0124-02大家都知道，数形结合是数学解题中常用的一种思想方法，准确说是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想方法。数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。在初中数学中，数形结合的思想通过忠实的体现者——示意图得以淋漓尽致的展现的。如在初一上学期“有理数”这一章，许多概念都是通过数形结合来解决的。比如，用温度计、海拔高度引入有理数的概念，利用数轴讲授绝

2、对值、相反数的概念，包括有理数的加法、有理数的乘法。又如，在初一平面几何的入门课讲授线段和角的概念时，长度、大小的度量及其计算，处处都有数形结合的影子。再如，一次函数和二次函数这两章，更是将示意图用到“极点”。数与形是一对矛盾，但它们又是统一的，它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面。笔者借助初中课本，举例说明数形结合思想在解决实际问题中的一些妙用。一、利用数形结合思想解决一次函数方案性问题中的调配问题例如，在八年级上册一次函数这一章，有这样一个问题：a城有肥料200吨，b城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往c、d两乡，从a城往c、d两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元

3、；从b城往c、d两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现c乡需要肥料240吨，d乡需要肥料260吨，怎样调动总运费最少？这一道题，是典型的方案性问题，是历年中考的一个热门考点。许多考生尤其是基础较差的考生，此题丢分非常厉害，究其原因是：此题涉及到的已知数据较多，容易张冠李戴，造成数据上的混乱。为了避免这一点，特借助示意图进行了以下处理：设a城运往c乡x吨，画出如下示意图：或者，设a城运往c乡x吨，画出以下示意图:数形结合思想得以充分体现。以上两种方法，正是由于使用了数形结合的方法，使学生对题目中数量关系一目了然，学生只要借助上面的示意图中体现的数据，问题便迎刃而解了，而且对于

4、变量x，y（y表示需要的总费用）之间关系的表达也显得非常简单：y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(x+60)=4x+10040，一次函数也就轻易地得出，其中自变量x的取值范围是一个难点，但由实际情况也较轻易得到：从而解出0≤x≤200，再次利用数形结合——解析式与函数图像，得出：当x=0时，y有最小值10040。自然，整个方案就出来了，问题的解决既准确又快，学生的得分也是不言而喻的。二、利用数形结合思想解决二次函数方案性问题中的最值问题例如，有一道中考模拟题：某家家乐小超市销售某种品牌的糖果，已知进价为每斤10元。市场调查发现：若每斤以20元销售，平均每天可

5、销售10斤，价格每降低1元，平均每天多销售4斤，但售价不能低于14元，设每箱降价x元（x为正整数）。（1）写出平均每天销售y（斤）与x（元）之间的函数关系式与自变量x的取值范围。（2）如何定价才能使超市平均每天销售这种糖果的利润最大？最大利润为多少？在（1）问中，我们并不难得出：y=4x+10（0＜x≤6）在（2）问中，设每斤降价x元，利润为w元，我们也不难得出：w=－4x2+30x+100即w=－4(x-3.75)2+156.25，那么由二次函数的性质，得出：当x=3.75时，w有最大值156.25，所以，当每斤降价3.75元即售价为16.25元时，利润最大为156.25元。结

6、论是否正确呢？显然，这个答案中（2）是错误的。那么，错在哪儿？很显然，错在我们的x不能小数，应该取正整数。那么，x到底取多少呢？怎样处理此题？不妨试试下面的方法：在平面直角坐标系中，画出w=-4x2+30x+100的图像。从图像中，一眼就可以看出，当x=4时，w有最大值156。从函数图像上的最高点（最低点）或接近最高点（最低点），可以很快找到函数的最值，这便是图像带给我们的好处。三、利用数形结合思想解决函数与方程（方程组）、函数与不等式的关系问题例如，利用函数y=2x-12的图像：就能知道方程2x-12=0的解为x=6，不等式2x-12＞0的解集为x＞6，不等式2x-12＜0的解

7、集为x＜6。四、利用数形结合思想解决比赛问题在七年级下册学过“利用不等式关系分析比赛”这一节的学生们都知道，这一节要想学好，真的是非常不容易。而且作为传授知识的老师，也非常清楚，要想将这一节涉及到的知识能让学生能轻松、愉快的接受，也是非常难的。如何让学生学好、学透这一节，一直困扰着我们的老师。直到有一天，笔者终于找到一种非常有用的方法——数形结合，下面举一例说明：有a、b、c、d、e五个队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得三分，平一场得三分，负一场