【数学】河北省衡水市冀州中学2013-2014学年高二上学期期末考试 （理a）

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1、一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1、已知集合,则（　　）A、B、C、D、2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（　　）A、B、C、D、3、设等差数列的前项和为，若、是方程的两个实数根，则的值是A、B、C、D、5（　　）4、下列命题错误的是（　　）A、命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为，则”；B、若命题，则；C、中，是的充要条件；D、若向量满足，则与的夹角为钝角.5、如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线,及直线x=a,与x轴围成，向矩形OABC内随

2、机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（　　）A、B、C、D、6、设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（　　）A、充要条件B、充分而不必要条件C、必要而不充分条件D、既不充分也不必要条件7、若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（　　）A、B、C、D、8、已知，，满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是（　）A、B、C、D、89、若不重合的四点，满足，，则实数的值为（　　）A、B、C、D、10、函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点,是图象与轴的交点,记,则的值是（　　）A、B、C、D、11、

3、过双曲线右焦点作一条直线，当直线斜率为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（　　）A、B、C、D、12、可导函数的导函数为，且满足：①；，记，，则的大小顺序为（　　）A、B、C、D、第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填入答题纸相应位置)13、数列中，，是方程的两个根，则数列的前项和　_________　．14、若A、B、C分别是的三内角，则的最小值为_________。15、一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的

4、所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是。16、已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线方程为。三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17、（本小题满分10分）已知函数。（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，求证：。18、（本小题满分12分）8已知向量，函数。（Ⅰ）求函数的最小正周期T及单调减区间;（Ⅱ）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，,,且.求角A，边的长和ABC的面积。19、（本小题满分12分）已知集合A＝{x

5、－1≤x≤0}，集合B＝{x

6、

7、ax＋b·2x－1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}．（Ⅰ）若a，b∈N，求A∩B≠的概率；（Ⅱ）若a，b∈R，求A∩B＝的概率。20、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．21、（本小题满分12分）定义在上的函数同时满足以下条件：①在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②是偶函数；③在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直。（Ⅰ）求函数＝的解析式；（Ⅱ）设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使<

8、，求实数m的取值范围。822、（本小题满分12分）如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为。（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；（Ⅲ）若直线在轴上的截距为，求的最小值．88设平面的法向量为，则有所以取，得.易知平面的法向量为.由二面角是锐角，得.………………8分所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点.因为在线段上，，，故可设，其中.所以，.因为与成角，所以.即，解得，舍去.所以当点为线段中点时，与成角.……………12分

9、21、解:（Ⅰ）(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………………………………………1分8由f′(x)是偶函数得：b＝0②……………………………………………2分又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3.……………4分（Ⅱ）由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－xlnx－x3＋x…………………………

10、6分设M(x)＝xlnx－x3＋x　x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝……………8分∵x∈[1，e]，∴H′(