计算行列式的方法

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1、计算行列式的方法摘要：本文主要对计算行列式的方法进行简单的总结归纳。计算行列式的方法通常有定义法、性质法、化三角形法、降阶法、升阶法、递推法、数学归纳法等十几种方法。关键词：行列式定义法性质法降阶法递推法正文：1定义法：用符号表示的n阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能的取自以上符号中的不同行与不同列上的n个元素的乘积，即下标是1，2，……，n这n个数码的一个排列，项的符号为也就是说是偶排列时，此项的符号为正，是奇排列时，此项的符号为负。定义法就是利用以上的行列式的定义去计算行列式。例：计算行列式A=解：A=1*+2*=1+8

2、-21=-12注：此方法适用于阶数较低的计算。2性质法：依据行列式的性质进行计算。性质1：行列式与它的转置行列式相等。性质2：交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。性质3：把一个行列式的某一行（或列）的所有元素同乘以某一个数k，等于以k乘行列式.性质4：一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外边。性质5：如果一个行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式值为0。性质6：如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么行列式值为0。性质7：把一个行列式的某一行（列）的所有乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元

3、素上，行列式值不变。性质8：如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么行列式值为0。性质9：设行列式D的第i行（列）的所有元素都可以表成两项的和。9例：计算行列式D=解：将第一列的-1倍分别加到第二列、第三列上得：D=由于行列式的第二、三列成比例，所以D=0注：此方法通常可以使一些复杂的行列式计算变得简单，通常与其他方法连用。3化为三角形行列式利用定义法可直接求出三角形行列式的结果，其主要结果有：1）==2）=9注：从理论上来说，虽然可以利用行列式的性质将任意一个行列式化为三角形行列式，（数字型行列式的确可这样计算），对于文字型行列式，未

4、必能方便的实现这一想法。3.1箭形行列式：例：计算行列式解：注1：把第j(j=2,3,4,…..,n)列的元素乘-加到第一列上。注2：形如的行列式也可以化为箭形行列式，再化为三角形行列式进行计算。3.2行（列）和相等的行列式：例：计算下列n阶行列式：9解：==[x+(n-1)a]=[x+(n-1)a]注：还可以运用以下方法计算：1）化为箭形行列式再求其值2）用升阶法计算3）运用递推法计算3.3相邻行（列）元素差1的行列式：例：计算n阶行列式解：==9===注1：使用对角线公式时，其前有符号，为注2：解此类型的行列式时，一般是自其第1行（

5、列）起，前行（列）减去后行（列），使其出现大量元素为1或-1的行列式。4升阶法：也称加边法，是在原行列式的基础上增加一行一列，且保持原行列式值不变的情况下计算行列式的一种方法。例：计算n阶行列式：解：===注：1）加边的元素除1和0以外，还要根据具体情况适当选择与已知行列式有关的某些元素，以便进异步一步地变换和运算。2）可利用升阶法计算的行列式一般应满足各行（列）含有共同元素的特点，且化简后常变成箭形行列式。5递推法：9例：计算n阶行列式：解：这里的第一个n-1阶行列式与有相同的形式，把它记作；第二个n-1阶行列式等于。所以这个式子对任

6、何n都成立，因此有=…………=但。所以6数学归纳法：例：证明n阶行列式（其余均为零）证：当n=1时，，结论成立。假设时，结论成立。那么，当n=k+1时9而由归纳法假设于是n=k+1时，结论成立。命题得证。7平方法：例：计算行列式解：==则detA=注：取“+”号是因为detA的主对角线上可得。8利用范德蒙行列式结果计算：所谓范德蒙行列式就是形如的行列式。其计算方法为：由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以，得：9=提出每一列的公因子，得：最后的因子是一个n-1阶的范德蒙行列式，用代替它：利用以上相同的方法，可得：*注：对于一些形

7、式与范德蒙行列式接近的，我们可以利用性质将其化为范德蒙行列式的形式，再用其结果（即*式）进行计算。9降阶法：降阶法主要是利用按行（列）展开，或利用拉普拉斯定理展开，使高阶行列式计算转化为低阶行列式计算。定理：行列式D等于它任意一行（列）的所有元素与他们的对应代数余子式的乘积的和。即拉普拉斯定理：在n阶行列式中，任选出k个行（）,则这个行列式值等于这k个行的一切k阶子式与其代数余子式的乘积之和。例1：计算n阶行列式解：将2，3，，…..，n列都加到第1列上去，得：9=例2：计算解：=注：1）用降阶法计算行列式时，一般应先利用行列式的性质，

8、将某一行或某一列化得零元素较多后，再按行或列展开。2）对于数字较多的行列式，对其降阶时，应注意其各项的展开后的总结：计算行列式的方法很多，能够根据行列式的类型特点不同，选择正确简单的计算方法很重要。这就要求