2.奇偶函数与周期函数的定积分

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1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)奇偶函数与周期函数的定积分基本性质及其应用在定积分计算中,巧妙地利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性及其周期性,既能收到事半功倍的效果,又能很好地体现了数学的对称美.[母题结构]:(Ⅰ)若f(x)为偶函数,则=2=2;(Ⅱ)若f(x)为奇函数;则=0;(Ⅲ)若f(x)是一个以T为周期的连续函数,则:①对任意a,有==;②对任意n∈N+,有=n.[解题程序]:利用奇偶函数定积分的性质,一定要注意积分

2、区域关于原点对称;而利用周期函数定积分的性质,一定要注意积分区域的长度等于最小正周期.1.奇函数的定积分子题类型Ⅰ:(2012年江西高考试题)计算定积分=.[解析]:由=+=x3

3、+0=.[点评]:充分利用奇函数f(x)的积分性质:=0,可有效简化计算.2.性质逆向子题类型Ⅱ:(2014年湖北高考试题)若函数f(x),g(x)满足=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x2-1;③f(x)=x,g

4、(x)=x3.其中为区间[-1,1]的正交函数的组数是()(A)0(B)1(C)2(D)3[解析]:当f(x)g(x)为奇函数时,满足=0;①f(x)g(x)=sinx为奇函数;②f(x)g(x)=x2-1为偶函数;③f(x)g(x)=x3为奇函数.故选(C).[点评]:本题是以积分,尤其是以奇函数f(x)的积分性质为背景命制的,解法为作者给出,优于流行解法.3.性质引伸子题类型Ⅲ:(2014年湖南高考试题)已知函数f(x)=sin(x-φ),且=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是()(A)x=(B)

5、(C)(D)[解析]:由=0f(x)的图像关于M(,0)对称,设f(x)图象的对称轴是x=x0,则

6、x0-

7、=k=k.故选(A).[点评]:奇函数f的积分性质可推广为:若f(x)的图象关于M(a,0)对称,则=0.解法为作者给出,更深刻、本质.4.子题系列:1.(2009年福建高考试题)等于()(A)π(B)2(C)π-2(D)π+22.(1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数(B)当f(x)是

8、偶函数时,F(x)必是奇函数(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数3.(2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“MN”表示“M的充分必要条件是N”,则必有()(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数4.(2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设f(x)是

9、周期为4的可导奇函数,且(x)=2(x-1),x∈[0,2],则f(7)=.5.(2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)函数f(x)连续,则下列函数中,必为偶函数的是()(A)(B)(C)(D)6.(2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)=.7.(1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设M=,N=,P=则有()(A)N

10、nx=()(A)2sinx(B)2cosx(C)2πsinx(D)2πcosx4.子题详解:1.解:因原函数F(x)=x+sinx=2=2[F()-F(0)]=π+2.故选(D).2.解:当f(x)是奇函数时,由F(x)=+CF(x)-F(-x)=-=-=0.故选(A).3.解:同上题.故选(A).4.解:由(x)=2(x-1),x∈[0,2]f(x)=(x-1)2+C,又f(x)为奇函数f(0)=0f(x)=(x-1)2-1f(7)=f(-1)=1.5.解:由t[f(t)+f(-t)]为奇函数.故选(D

11、).6.解:由x3cos2x为奇函数====.7.解:由定积分的性质如果被积函数f(x)≥0,则≥0(a0,P=-<0.故选(D).8.解:由===2=2[x3+b(xcosx-sinx)+sin2x+x]

12、=π3-2bπ+(a2+b2)π=π3+(a2+b2-2b)π=π3+[a2+(b-2)2-4]π当a=0,b=2时,积分最小a1cosx+b1sinx=2sinx.故选(A).