定积分中奇偶函数和周期函数处理方法

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1、定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一)、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论1、若是奇函数（即），那么对于任意的常数a，在闭区间上，。2、若是偶函数（即），那么对于任意的常数a，在闭区间上。3、若为奇函数时，在的全体原函数均为偶函数；当为偶函数时，只有唯一原函数为奇函数即.事实上：设，其中为任意常数。当为奇函数时，为偶函数，任意常数也是偶函数的全体原函数为偶函数；当为偶函数时，为奇函数，任意常数时为偶函数既为非奇函数又为非偶函数

2、，的原函数只有唯一的一个原函数即是奇函数。4、若是以为周期的函数（即），且在闭区间上连续可积，那么。5、若是以为周期的函数（即），那么以为周期的充要条件是事实上：，由此可得12。(二)、定积分中奇偶函数的处理方法1.直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间。2.拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算。3.拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设，，则，从而就转

3、换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。(三)、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题。二、典型例题例1设在上连续可积，证明：(1)若为奇函数则(2)若为偶函数，则。证明：(1)因为，而对前一项中令，则所以.(2)因为，而，对前一项中令相似的有，所以.例2设在上连续，且以T为周期，证。证明：由12，在上式右端最后一个积分中，令则有，即有，成立再证,因为对于令则，因为所以有，。

4、例3求定积分。解：被积函数为偶函数，例4求定积分，其中为自然数。解：注意到是偶函数且以为周期，因此利用性质可以简化计算.例5计算：（自然数或为奇数）。解：由周期函数积分性质得当为奇数时，由于被积函数为奇函数，故当为奇数时(设…)时其中为的某个多项式（不含常数项）因此例6求定积分。12解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故例7求定积分I=。解：I=，因为是奇函数，而是偶函数，所以I=2=例8求定积分I=。解：设则I==因为是奇函数所以例9求定积分I=。解：令，则，因为，所以，例10求定积分I=。分析：若此题采用

5、常规求法，会发现过程相当复杂，但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出。原函数可以看做一个奇函数f(x)=和一个偶函数u(x)=之和。解：12I==+=2=2例11求定积分I=。分析：如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到为奇函数在对称区间上积分为零，因此就可以简化积分，而在上积分恰好是以原点为圆心，半径为的上半圆周面积，s==解：I===0=2=2=例12设在上连续，证明，并由此计算。解：若记，，显而易见为偶函数，为奇函数，而且.所以有利用上述公式可得例13求定积分I=。分析：此题的积分区间12

6、关于原点对称，从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数，我们可以将其凑成奇偶函数。按照上一题的结果我们可以知道为奇函数，而为偶函数解：例14求定积分其中。分析：被积函数不是周期函数，无法直接用周期函数的定积分性质计算，采用分部积分比较繁琐，可以考虑还原。令则移向得：所以例15求定积分。解：例16求定积分解：注意到被积函数是以为周期的偶函数，因此可用定积分中相应性质简化计算例17求定积分。解：注意到是对称区间，函数可以应用定积分的奇偶性来计算12例18证是以T为周期的周期

7、函数，则。证明：因为故只需证明由题设可知现令，当时，；当时，且所以有例19设是以为周期的周期函数，证明。分析:等价于所以=即由题设可令证明：令，则例20设函数12(1)当n为正整数，且时，证明；(2)求证明：(1)因为，且，所以，又因为具有周期，在长度的积分区间上积分值相等：，从而同理可得到(2)由(1)有，当去极限，由夹逼定理得，例21设函数在上连续，而且。证明：(1)若为偶函数，则也是偶函数；(2)若单调不减，则单调不减(1)证明：令，则故为偶函数。(2)由于被积函数连续，所以可导，且，因此在上单调不减例22

8、设在上连续，以T为周期，令，求证：(1)一定能表成：，其中k为某常数，是以T为周期的周期函数；(2)；12(3)若有，n为自然数，则当时，有。证明:(1)即确定常数k，使得以T为周期，由于T因此，取，，则是以T为周期的周期函数。此时(2).且在上连续并以T为周期，于是在在有界，在也有界。因此(3)因，所以当时，例23设是上的连续函数，试运用周期函数性质证明。证明：因为，其