【数学】上海市金山中学2014-2015学年高二下学期期中考试

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1、上海市金山中学2014-2015学年高二下学期期中考试一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．双曲线的两条渐近线的方程为．2．若点在抛物线的准线上，则实数的值为.3．在棱长为的正方体中，异面直线和的距离为．4．过点的圆的切线方程为．5．椭圆上的点到左焦点的距离为2，是中点，则.第7题6．已知三棱锥满足，则点在平面上的射影是三角形的外心.7．如图，已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体

2、的体积．8．在北纬圈上有两地，他们在纬度圈上的弧长等于(是地球的半径)，则两地的球面距离是.9．将一个半径为2的半圆面围成一个圆锥，所得圆锥的轴截面面积等于.10．已知抛物线的准线过椭圆的一个焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的方程为.11．已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为.812．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则或．第13题13．如图，在正方体中，，中点为，过、、三点的截面面积为．14．面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离为，若，则；根

3、据以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积为，此三棱锥内任一点到个面的距离为，若，则.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．“方程表示双曲线”的一个充要条件是（）．．．或．16．已知，，，是空间四点．命题甲：，，，四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的（）．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件17．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出这六个字母，现放成下面三

4、种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母对面的字母依次分别为（）8．．．．18．如图，在底面半径和高均为的圆锥中，是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点．已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为（）．．．．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．ACDBA1B1C1D1M第19题19．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在体积为16的正四棱柱中，点是的中点，．（1

5、）求棱的长；（2）求异面直线与所成角的大小．解：（1）…………………………4分（2）连，则或其补角为直线与所成的角…………6分在中，，直线与所成角的大小为…………12分8PBCDA第20题20．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，已知平面，，．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．解：（1）平面，，又平面是直线与平面所成的角…………3分，所以直线与平面所成的角为…………6分（2）………………8分而………………………10分，，………………………12分，所以，即点到平面的距离为

6、……14分ADCP第21题BE21．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的大小．解：（1）证明：∵，∴．同理由，可证得．8又，∴．…………………………………6分（2）解法一：设的交点为，过点作于点，连易证为二面角的平面角…………………………………9分由（1）知为正方形，在中，，二面角的大小为…………………………………14分解法二：分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系．由(1)知，又，∴．故矩

7、形为正方形，∴．∴．∴．设平面的一个法向量为，则，即，∴，取，得．∵，∴为平面的一个法向量．所以．设二面角的平面角为，由图知，则二面角的大小为…………………………………14分822．（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等.铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm，加工中不计损失）.（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度

8、为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）.解：设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：……1分（1）圆柱的高………………………………………2分圆柱的侧面积……………………………………………3分半球的表面积……………………………5分所以铆钉的表面积()……7分（2）…………………………9分…………………11分设钉身长度为，则…………………1