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1、§2.3函数的值域６【一线名师精讲】基础知识要点：1、函数的值域是由定义域和对应法则所确定，由于函数的值域是函数值的集合，因此，函数的值域必须用集合或区间表示。2、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式，只能根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。常用的方法有：（1）配方法：是求二次函数类值域的最基本的方法，形如F（x）=af2（x）+bf（x）+c的函数的值域问题，均可用配方法。（2）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。形如y=的函
2、数的值域，均可使用反函数法。此外，该种类型的函数值域也可用“分离常数法”求解。（3）换元法：运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax+b（a，b，c，d均为常数且a≠0）的函数的值域常用此法求解。（4）判别式法：将函数转化成关于x的二次方程F（x，y）=0，通过方程有实根，判别式△≥0，从而求得原函数的值域。形如（a，d不同时为零）的函数的值域常用此法求解。注意：①函数的定义域为R②分子、分母无公因式。（5）不等式法：利用基本不等式a+b≥求函数值域时，
3、要切记条件“一正二定三相等”。（6）函数的单调性法：确定函数在定义域（或定义域的某个子集）上的单调性求出函数的值域。当利用不等式法等号不成立时，可考虑用函数的单调性。（7）利用导数确定极值、最值或判断单调性，从而得出值域。（8）数性结合法：利用函数所表示的几何意义，如分式形式联想斜率，平方和联想距离等，借助于几何方法来求函数的值域。3、由于函数的值域受定义域的制约，因此无论采用什么方法求函数的值域，均应优先考虑定义域.基本题型指要：函数的值域在函数的应用中占有非常重要的地位，近年来的高考试题中，一般不直接
4、考查值域，往往作为综合题的某一步来考查，与函数的最值问题有密切关系。◆题型一：求函数的值域【例1】求下列函数的值域。（1）（2）（3）（4）（5）（6）思路导引：观察所给函数解析式的结构特征，联想类比求函数值域的各种基本方法，以确定求函数值域的最佳途径。（1）解析：（配方法）因为=所以原函数的值域为[0，2]（2）解析1：（代数换元法）令t=∵是关于t的二次函数的递减区间∴当t=0时，ymax=∴原函数的值域为（－∞,解析2：(单调性法)∵13－4x≥0∴x≤∴原函数的定义域为（－∞,∵函数在其定义域内单
5、调递增,∴当x=时，ymax=2×－1=∴原函数的值域为（－∞,（3）（三角换元法）∵1－x2≥0６∴原函数的值域为[（4）解析1：（分离常数法）因为=所以原函数的值域为解析2：（反函数法）∵∴x=∴原函数的值域为（5）（判别式法）由得（y－1）x2+（1－y）x+y=0当y≠1时，当y=1时，x∈Φ∴y≠1∴原函数的值域为（6）（不等式法）原函数可化为当x>1时,log3x>0当00∴原函数的值域为点评:求函数的值域时，应先分析函数解析式的结构特征，以确定求函数
6、值域的方法。在用换元法求值域时，必须注意新变量的取值范围。【例2】求下列函数的值域：（1）（2）解析1：（反函数法）由得sinx+ycosx=2y,∴sin（x+）解析2：（数形结合法）可看作点（2，0）与圆上的点的连线斜率的相反数，由图象得（2）（几何法）表示直角坐标平面内x轴上的点P（x，0）到两定点A（6，4），B（2，1）的距离之差，如图，则有∴y∈[－5，5]【例3】求函数的值域。解析：６ ∴令t=，则t≥2，y=∵∴t1t2>0,t1-t2<0,t1t2－1>0∴f(t1)7、f(t)=t+在上是增函数故当t=2时,ymin=2+∴函数的值域为误区警示：下面为常见的错误解法：=∴函数的值域为错因：当y=2时，即=1，这是不可能的。其错误原因在于忽略了不等式法求值域的三个条件：“一正二定三相等”。点评:利用函数的单调性法求函数的值域时,若函数不是基本初等函数,其单调性必须证明.◆题型二：给定函数的值域，求其中参数的取值范围【例4】已知函数的定义域为(－∞,+∞),值域为[0,2],求m,n的值.思路导引：直接利用已知条件较难,不妨将问题实施转化.解析：令t=,则有(t－m)x2－
8、８ｘ＋（ｔ－ｎ）＝0当ｔ≠ｍ时，因为x∈R,所以△=（－８）２－４（ｔ－ｍ）（ｔ－ｎ）≥0即t2－(m+n)t+(mn－16)≤0由1≤t≤9知,关于t的一元二次方程t2－(m+n)t+(mn－16)=0的两根为1和9,由韦达定理得解得m=n=5当t=m,即t=m=5时,对应x=0,符合条件∴m=n=5点评：本题的解法体现了等价转化的数学思想,它是解决问题的桥梁.【例5】若函数f(x)=的定义域和值域都是[1,b](b>1),
