输电线舞动模型的分析(范德波尔方程)

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1、输电线舞动模型的分析(范德波尔方程)输电线舞动模型的分析Theanalysisofthetransmissionlinedancingmodel专业：姓名：学号：输电线舞动模型的分析摘要：通过对覆冰输电导线在水平阵风作用下做垂向驰振的物理模型进行简化分析，建立了系统微分方程，定性分析研究系统的奇点类型及稳定性，极限环的存在稳定性；通过KBM法求得系统方程近似解，分析参数对振动的影响因素。关键词：输电线舞动；范德波尔方程；稳定性；周期解Theanalysisofthetransmissionlinedanci

2、ngmodelAbstract:Basedontheiceattheleveloftransmissionwiretodotheverticalgallopingunderthehorizontalwindphysicalmodeltosimplifytheanalysis,thestudyestablishedasystemofdifferentialequations，Thenqualitativeanalysisthetypeandstabilityofsingularpoint,theexisten

3、ceoflimitcyclestability.ThroughtheKBWmethodtoobtaineequationapproximatesolution,analysistheinfluencefactorsofparametersonthevibration.Keywords：transmissionwireofthedance;Vanderpolequation;stabilityPeriodicsolution1.引言冬季，当水平方向的风吹到因覆冰而变为非圆断面的输电导线时，在一定的条件下，会诱

4、发导线产生一种低频、大振幅的自激振动，这种自激振动现象称为输电线舞动。其舞动幅度可达一二米，轻者会造成金具损坏和断线，严重的会发生线路倒塔事故，因此对于输电线舞动的模型建立和分析是有很大必要的。输电导线舞动通常发生在冬季导线覆冰而形成非圆断面的情况下，舞动的形成取决于三方面的因素，即覆冰、风激励和线路的结构和参数，由于这些参数的千变万化，因此在实际工程中所发生的舞动是非常复杂的。因此本文主要在稳定的风激励下建立数学模型，研究分析振动方程解得稳定性及各项参数对振动的影响。2.数学模型的建立图1.输电线的受力图

5、截取一小段电线为集中质量，如图1所示，以无振动时线段的质心平衡位置O为原点，建立坐标系(Oxy)，质心C的垂直坐标为y。由于输电线的圆形断面被冰层覆盖成为非圆形的不规则形状，因此形成攻角为α倾斜速度分量，即速度υ与水平轴x的夹角为α??y，当风速为υ0的水平阵风吹来时，其相对输电线的相对速度υ为：υ?j????y(2.1)0其中j为y轴的单位矢量。因此阵风不仅对电线产生沿υ方向的阻力，同时产生于υ垂直的升力FL。根据空气动力学的实验结果，阻力与升力的变化规律为：22ρυ0ρυ0Fd?cdl，FL?cLl22

6、(2.2)其中ρ为空气密度、l为断面的特征长度、cd，cL分别为阻力系数和升力系数。小攻角时空气动力沿y轴的垂直分量Fy近似为：其中2ρυ0Fy?FL?Fdα?cyl2(2.3)cy?cL?cdα(2.4)cy随攻角α变化的非线性规律如图2所示图2.空气动力系数与攻角关系曲线由此可得Fy随α的变化可近似三次多项式：?yFy?aα?bα3(2.5)设m为线段的质量，线段两端拉力合成的弹性恢复力的刚度系数为k，风力Fy以式表示，其中的攻角以式??方程为瑞利方程：?代入，导出输电线段在风力作用下沿y轴运动的动力学

7、2???εy?(1?δy?2)?ω0yy?0(2.6)?作为新的变量仍记为y，参数3δ以δ代替，化为范德波将上式的各项对t求导，将y尔方程：其中2???εy?(1?δy2)?ω0yy?0(2.7)??a3bk，??2，?0?(??0,??0)(2.8)m?0a?0m3.定性分析??x2，将（2.7）式化为一阶范德波尔方程为二阶非线性微分方程，令y?x1，y方程组形式如下：??x2?y?22?2?εx2(1?δx1)?ω0x1?x（3.1）令上式右边等于0可求得方程的奇点为（0,0），方程在奇点处的雅克比矩阵

8、为：令特征多项式为0，即?0J?0,0?????ω2?01??ε??（3.2）?λλE?A???ω2?0?1?22??λ?ελ?ω?00λ?ε??（3.3）可求得特征值2ε?ε2?4ω0λ1,2?2（3.4）因此可知：当ε≥2ω0时，奇点(0,0)是不稳定结点,ε<2ω0时，奇点(0,0)是不稳定焦点。根据庞加莱-本迪克生定理做出的推论可得，此平面自治自治系统内存在稳定的极限环。取系统参数?0?1，如图所示