全国中学生物理竞赛集锦(光学)答案

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1、全国中学生物理竞赛集锦（光学）答案第21届预赛2004.一、1.d.10－192.a正确，b不正确。理由：反射时光频率n不变，这表明每个光子能量hn不变。评分标准：本题15分，第1问10分，每一空2分。第二问5分，其中结论占2分，理由占3分。图1六、把酒杯放平，分析成像问题。1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1。在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成a角的另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为q，由折射定

2、律和几何关系可得n1sini＝n0sinr（1）q＝i+a（2）在△PAC中，由正弦定理，有（3）考虑近轴光线成像，a、i、r都是小角度，则有（4）（5）由（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R的数值及cm可得q＝1.31i（6）r＝1.56i（7）由（6）、（7）式有r＞q（8）由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于P¢，P¢即为P点的实像．画面将成实像于P¢处。在△CAP¢中，由正弦定理有（9）又有r＝q+b(10)考虑到是近轴光线，由（9）、（l0）式可得(11)又有（12）由以上各式并代入数据，可得cm（13）

3、由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。图22．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有（14）代入n1和n2的值，可得r＝1.16i（15）与（6）式比较，可知r＜q（16）由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P¢，P¢即为P点的虚像。画面将成虚像于P¢处。计算可得（17）又有（18）由以上各式并代入数据得cm（19）由此可见，斟酒

4、后画片上景物成虚像于P¢处，距O点13cm．即距杯口21cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。评分标准：本题15分．求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式，给5分，说明“看到”再给3分。第21届复赛zaLS1PaS2ahhS3’O1O2(S2’)O3图1M’Mu四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3

5、个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中表示组合透镜的平面，、、为三个光束中心光线与该平面的交点．＝u就是物距．根据透镜成像公式(1)可解得因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utana≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f和L的值，算得≈1.757h(2)此解满足上面的条件．分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有(3)即光心O1的位置应在之下与的距离

6、为(4)同理，O3的位置应在之上与的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点．2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜．因为三个透镜的半径r=0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于＝＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．图2画出了L1、L2放在平面内时相互交叠的情况（纸面为平面

7、）．图中C1、C2表示L1、L2的边缘，、为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交点．0.146h0.854h0.439h0.439hhS1’O2(S2’)O1W1W2QQ’NN’TT’C1C2’圆1圆2图2x2x1K为圆心的圆1和以（与O2重合）为圆心的圆2分别是光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为(5)根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知(6)故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组

8、合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线和．若沿位于和之间且与它们平行的任意直线对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合