【数学】江苏省南通市南通中学2014-2015学年高二上学期期末考试

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1、江苏省南通中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．计算：▲．2．函数f(x)＝的单调增区间是▲．3．已知复数z=(2－i)i，则z的模为▲．4．曲线在点处的切线方程为▲．5．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为▲．6．已知函数的导函数为，且满足，则▲．7．已知复数，则的取值范围是▲．8．若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围为▲．9．如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为▲．10．设P是函数y＝(x＋1)图象上异于原点的动点

2、，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是▲．11．已知定义域为的函数对于任意的x都满足．若0”，“<”，“=”中选择正确的一个填写）．12．设直线y＝a分别与曲线y2＝x和y＝ex交于点M，N，则当线段MN取得最小值时实数a的值为▲．13．已知点，是函数的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段总是位于，两点之间函数图象的上方，因此有结论成立.运用类比思想方法可知若点，是函数的图象上的不同两点，则类似地有▲成立．14．若不等式

3、ax3－lnx

4、≥1对任意x(0，1]都成立，则实数a的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分

5、．请注意文理科类，并在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共14分）已知复数（）．（1）求实数为何值时，z为实数；（2）求实数为何值时，z为虚数；（3）求实数为何值时，z为纯虚数．16．（本小题共14分）已知曲线C：与直线相切，其中e为自然对数的底数．（1）求实数a的值；（2）求曲线C上的点P到直线的距离的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．17．（本小题共14分）某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)(注：收益＝销售额－投放)．（1）若该公司将

6、当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．18．（本小题共16分）（理）已知数列的前n项和．（1）计算数列的前4项；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．（文）求证：1，，3不可能是一个等差数列中的三项．19．（本小题共16分）已知函数，其中，．（1）当时，求的单调区间；（2）证明：对任意的，函数在区间内均存在零点．20.（本小题共16分）已知，

7、函数，e为自然对数的底数．（1）若，求函数取得极值时所对应的x的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．江苏省南通中学2014—2015学年度第一学期期末考试高二数学答案9．10．11．<12．13．14．a≥二、解答题：15．解：（1）当z为实数时，则解得.所以，当时，z为实数．（2）当z为虚数时，则解得．所以，当且时，z为虚数．（3）当z为纯虚数时，则解得．所以，当时，z为纯虚数．16．解：（1）设曲线C：与直线相切的切点的横坐标为，由得切线的斜率=，所以，所以切点坐标为，代入直线得.（2）由（1）得曲线C的方程为：，当过点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，设点P的横坐标为，由

8、得切线的斜率=1，所以，所以所求点P的坐标为，所求距离的最小值为．17．解：(1)设投入t(t百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0＜t≤3)，所以当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，则有g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)所以g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，解得x＝2，或x＝－2(舍去)．又当0≤x＜2时，g

9、′(x)＞0，当2＜x≤3时，g′(x)＜0．故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数．所以当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．18．（理）解：（1）由，得．由，得．由，得．由，得．（2）猜想．下面用数学归纳法证明：①时，左边，右边，猜想成立．②假设当时，猜想成立，即，此时．则当时，由，得，所以．因此，当时，等式也成立．由①②