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《变系数分数阶次扩散方程的高阶紧有限差分方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2018届博士研究生学位论文分类号:O241.82学校代码:10269密级:学号:52140601018EastChinaNormalUniversity博士学位论文DOCTORALDISSERTATION论文题目：变系数分数阶次扩散方程的高阶紧有限差分方法院系：数学科学学院专业：计算数学研究方向：偏微分方程数值解指导教师：王元明教授学位申请人：任磊2018年5月Dissertationfordoctoraldegreein2018StudentID：52140601018Universitycode:10269EastChinaNormalUniversityTitle:High-Or
2、derCompactFiniteDifferenceMethodsforFractionalSub-diffusionEquationswithVariableCoefficientsDepartment:SchoolofMathematicalSciencesMajor:ComputationalMathematicsResearchDirection:NumericalSolutionofPartialDifferentialEquationsSupervisor:Prof.Yuan-MingWangCandidate:LeiRenMay2018任任任磊磊磊博博博士士士学学学位位位论
3、论论文文文答答答辩辩辩委委委员员员会会会成成成员员员名名名单单单姓名职称单位备注马和平教授上海大学主席陈文斌教授复旦大学陈果良教授华东师范大学羊丹平教授华东师范大学潘建瑜教授华东师范大学张向韵副教授华东师范大学秘书摘摘摘要要要分数阶偏微分方程广泛应用于科学与工程领域.本文主要针对变系数分数阶次扩散方程的初边值问题构造几种高阶紧有限差分方法,并给出相应的数值分析.本文由如下六章组成:第一章简要介绍了本文的研究背景和研究动机.第二章构造和分析了求解一类变系数时间分数阶对流-反应-扩散方程的紧有限差分方法.方程的对流和反应系数依赖于空间变量.基于一些新的技巧以及时间分数阶导数的?2-1?逼近公
4、式和空间导数的四阶紧有限差分逼近,我们建立了一种紧有限差分方法,并详细讨论了该方法的局部截断误差和可解性.利用离散能量分析法严格证明了方法的无条件稳定性及其时间二阶收敛性和空间四阶收敛性.然后,建立的紧差分方法被推广到对流和反应系数同时依赖于时间和空间变量的一般情形.另外,我们还提出了一种具有高阶精度的组合紧有限差分方法.数值结果验证了这些方法的有效性.第三章继续研究第二章考虑的变系数分数阶次扩散方程.基于时间分数阶导数的加权位移Gr¨unwald-Letnikov公式和空间导数的紧有限差分逼近,我们建立了一种无条件稳定的高阶紧差分方法,并详细讨论了紧差分格式的局部截断误差和可解性.用离
5、散能量法严格证明了该方法的稳定性及其时间三阶收敛性和空间四阶收敛性.将差分方法与Richardson外推相结合,我们给出了一种时间和空间精度均为四阶的外推紧差分方法,并且对外推法的收敛性给出了严格的理论证明.数值结果验证了理论分析,并表明了紧差分方法的精度和外推紧差分方法的有效性.第四章建立和分析了求解一类守恒形式的变系数时间分数阶次扩散方程的高阶紧有限差分方法.我们用基于分段二次插值多项式的?2公式离散?阶Caputo时间分数阶导数(?∈(0,1)),同时用一个四阶紧有限差分算子逼近变系数空间微分算子.针对变系数的一般情形和所有的?∈(0,1),通过发展一种离散能量分析技巧,我们全面给
6、出了方法的稳定性和收敛性分析,并获得了?2范数下的最优误差估计.误差估计表明建立的方法具有时间3−?阶精度和空间四摘要阶精度.为了提高方法的应用性,我们讨论了进一步的逼近.最后,建立的方法被应用于三个模型问题,数值算例验证了理论分析结果.第五章继续研究第四章考虑的变系数分数阶次扩散方程.基于时间分数阶导数的Lubich差分算子和空间导数的紧有限差分逼近,我们建立了一组紧有限差分方法.建立的方法具有收敛阶?(??+ℎ4),其中?≥2是正整数,?和ℎ分别是时间步长和空间步长.这样的高阶紧差分方法改进了文献中已有的方法.我们详细讨论了方法的局部截断误差和可解性.针对变系数的一般情形和2≤?≤6
7、,通过将离散能量分析技巧应用于方法的矩阵形式,我们严格给出了方法的稳定性和收敛性分析,并获得了加权?1,?2和?∞范数下的最优误差估计.最后,建立的方法被应用于两个模型问题,数值结果验证了方法的收敛阶.第六章总结了本文的主要结果并概括了未来值得研究的工作.关键词：分数阶次扩散方程;变系数;紧差分方法;稳定性;误差估计;离散能量法;高阶收敛;Richardson外推法.–x–AbstractFractionalpartialdiffe
