一道高考数学试题的解法探究及教学思考

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1、7试题研究·中数高中2009年第9期发稿·杜安利一道高考数学试题的解法探究及教学思考马兴奎（云南省昭通市实验中学）题目：双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点.已知、、成等差数列，且与同向.（1）求双曲线的离心率；（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.一、试题分析本题是2008年高考数学全国卷I文科第22题（理科第21题），是主要考查解析的几何基本思想和基本方法的压轴题，看似平凡，其实是一道可以用来归纳求解离心率的常用方法和技巧的好题，对启

2、迪学生的发散性思维，拓宽学生的解题思路很有帮助。其命题意图是考查学生数形结合、化归与转化的数学思想和方程的思想。考生初读题目，感觉常规，下笔却困难重重。原因是试题的第（1）问对考生的思维能力要求较高，许多考生草读一遍题意，便下笔求解A、B两点的坐标，虽然一些考生能够正确求出A、B两点的坐标为，，接下来计算和还较容易，但计算由于计算量大，陷入解题困境，部分考生算出了一个相当复杂的结果；部分考生甚至算了半天也计算不出结果，最后心慌，放弃此题。本文以此题为载体，引导学生一题多解，发散思维，并引发了几点思考，旨在与同行交流。OxyFAB图1二、第（

3、1）问解法探究分析：如图1所示，设双曲线方程为=1(a＞0，b＞0)，右焦点为F(c,0)(c＞0)，则c2=a2+b2.不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0，依题意==b，==a，由知，只需求出的值即可，可用多种思维建立a与b的关系。解法1（坐标法）:由已知知直线AB的方程为，联立解得，联立解得。因为与同向57试题研究·中数高中2009年第9期发稿·杜安利，所以a＞b,所以，，。又因为、、成等差数列，所以，可得a=2b，所以。【点评】联立消元和坐标运算是解决解析几何问题的核心，也是常规解题思想和方法，但往往由于涉及字母较多，计

4、算量大，运算技巧强，使得许多学生“易想难算”，望而生畏，产生恐惧心里，因此，对学生而言是一项艰巨的考验。解法2（勾股定理）:因为，又由已知知，，联立可得，所以=tan∠AOB，因为与同向，所以∠AOB=2∠AOF，即，解得tan∠AOF=或tan∠AOF=-2（舍去），因此。以下略。【点评】事实上，由知，只需求出的值即可，进而寻找a与b之间的关系，而恰为渐近线l1的斜率，由斜率的定义得=tan∠AOF，再往下思考，会自然想到∠AOB=2∠AOF，通过求出tan∠AOB=的值再计算，这样思路自然，迅速解答。解法3（方程思想）:由已知得解得：：

5、=3：4：5。设=3k，=4k，=5k，k＞0，则可求得tan∠AOB=，进而tan∠AOF=，即。以下略。【点评】在解法2的思维的启发下，利用已知建立三元方程组，从而可以得到、、中的任何两个或三个的比值关系，这个解法较为简捷，也激发了学生思维智慧的火花。解法4（三角法）:设∠AOF=θ，则∠AOB=2θ，由得57试题研究·中数高中2009年第9期发稿·杜安利，在Rt△AOB中，，，即，由万能公式解得，即。以下略。【点评】此解法充分利用直角三角形中的三角函数，把边长的比值问题转化为三角函数的运算，使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系，从而

6、培养思维的灵活性。解法5（角平分线定理）:依题意可知∠AOF=∠BOF。由三角形角平分线定理得，再利用比例性质及得，即。以下略。【点评】此解法用到了初中数学中的知识，显示了初中、高中数学知识的连贯性，利用两条渐近线关于实轴对称的特点和三角形角平分线定理建立简洁的比例关系进行求解。解法6（设而不求）:不妨设l1：，l2：，直线AB的方程为，又设，，则x2＞x1,，，所以。由得①。直线AB的斜率②，联立①②得。以下略。OxyFAB图2H【点评】利用点在曲线上的性质，对点的坐标进行相关设法，设而不求和整体消元是解析法的重要思想和方法，可以简化很多

7、繁琐的运算。解法7（几何法）:如图2所示，过点B作x轴的平行线交渐近线l1于点H，根据两条渐近线关于y轴对称的性质，由得，且∠AOF=∠AHB。在Rt△BAH中，tan∠AHB=，即tan∠AOF=。以下略。【点评】此解法充分利用几何图形的性质及特点，巧妙地进行转化，从而简化运算。这种解决问题的思想凸显解析几何的核心问题之一——几何问题。三、第（2）问解法探究57试题研究·中数高中2009年第9期发稿·杜安利分析：由（1）知a=2b，双曲线的方程可化为x2-4y2=4b2①。由l1的斜率为，知，直线AB的方程为,代入①并化简得.由已知。设直

8、线AB与双曲线交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点，则，，下面可用3种解法计算。解法1：AB被双曲线所截得的线段的长为，解之得b=3，从而a=6，所以双曲线的方程为=1。解