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1、一道高考填空题的解法探究•中学数学论文一道高考填空题的解法探究贾周德（赣榆中等专业学校，江苏连云港222100）摘要:本文探究了一道高考填空题的多种解法，开扩了学生的解题思路，培养了学生的创新思维.教学实践证明，在数学教学中开展一题多解训练，有利于学生掌握数学基础知识和基本方法，提高解题能力。关键词:基本不等式；判别式；三角换元；几何；导数中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351（2013）-11-0020-01在数学教学中,笔者引导学生对下面一道高考填空题的解法作了一番探究z得到了多种不同的解法，现总结如下，供解题参考。题目：设
2、xyz为正实数，满足x-2y+3z=0,则y2xz的最小值是。（2008年江苏高考数学卷第11题）基本不等式法解法1:由x・2y+3z=0,得y=x+3z2.将此式代入y2xz中，整理得y2xz二x4z+9z4x+32.由题设知,x4乙9z4x均为正实数，由基本不等式，得x4z+9z4x+32>2x4z.9z4x+32=3Z即y2xz>3（当x=y=3z时，取"二”）,所以y2xz的最小值是3.点评：上述解法1是用基本不等式ab0zb>0）求解的。本题也可以这样解，将已知等式化为y二x+3z2,由基本不等式得y>3xz0,即y2xzn3
3、,从而得解。利用基本不等式求最值时，要注意满足〃一正数、二定值、三相等〃的条件。二、判别式法解法2设y2xz=t（tO）则y2=txz.由已知等式猖y二x+3z2将此式代入y2=txz中，整理得（xz）2+（6・4t）xz+9=0.因为这个关于xz的二次方程有正实数根，所以判别式△二（6・4t）2・36R,解得t>3或tsO（舍去），即y2xz>3（当x=y=3z时，取〃二〃）.所以y2xz的最小值是3.点评：上述解法2是将y2xz用新变量t表示，结合已知等式，用代入法消去y,整理得关于xz的二次方程，从而利用〃判别式法〃得解•利用判别式法求函数的最值
4、时，要注意检验其结论的正确性，防止岀现〃误判〃或〃漏判〃的情形.三、三角换元法解法3:将x・2y+3z=0化为x2y+3z2y=l.令x2y=cos20/3z2y=sin29/0G（O/n2）.两式相乘并整理，得y2xz二3sin228因为20曰0,町所以lsin2241，于是y2xzn3.当0二tt4时,lsin220取最小值匕从而y2xz取最小值3,此时x二y二3z.所以y2xz的最小值是3.点评:上述解法3是将已知等式化为x2y+3z2y=l,利用三角换元法把问题转化为求三角函数的最值问题而得解的。这里得出x2y+3z2y=l后,也可以利用基本不
5、等式求解。四、几何法解法4:作线段AP二x,延长AP至点B,使PB=3z,则AB=x+3z=2y（xzyzz为正实数）.以线段AB为直径作圆0（如图）/乍半径0C,使0C丄AB,则OC=y.过点P作PE丄AB,交圆0于点E,则3xz二PE2SOC2,即3xzSy2,所以y2xz>3显然当点P与圆心0重合时，此不等式取〃二〃，此时x二y=3z.所以y2xz的最小值是3.点评上述解法4是通过作圆，在圆中创造条件利用几何平均值ab的几何意义,得3xz二PE2,再根据〃半弦不大于半径〃而得解。五、导数法解法5:设y2xz=t(tO),由上述解法1知,t=x4z
6、+9z4x+32•令xz二u(uO),则t=u4+94u+32(u0)将此函数记为t二g(u),uW(0,+8).求导数g'(u),由g,(u)=14・94u2二0,解得ul=3zu2=・3(舍).当uW(0,3)时，g'(u)0;当UW0+8)时，g'(u)0.所以函数t=g(u)在u=3处取得极小值3(唯一),也是最小值•所以y2xz的最小值是3.点评:上述解法5是通过换元，将问题转化为求一元函数的最值问题，从而利用〃导数法〃得解。应用导数法求函数的最值时，要注意检验，正确判断函数的最值。通过此题多种解法的探究，开扩了学生的解题思路，培养了学生的创
7、新思维，收到了良好的教学效果。教学实践证明，在数学教学中开展一题多解训练，有利于学生掌握数学基础知识和基本方法,有利于培养学生的解题能力和探索精神。参考文献：[1]单埴•普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)[M].江苏教育出版社,2005.[2]徐小伍•利用平均值不等式解题的误区[J]•中学数学教学,2000,(2).[3]单埴.普通高中课程标准实验教科书数学（选修1-1）[M].江苏教育出版社,2005.
