石大数理方程试卷(a)答案

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1、2011-2012学年第二学期《数学物理方法》试卷A答案一、选择题1.C2.D3.C4.A5.C二、填空题1、或过(2,0)点以为斜率的直线和过(3,0)点以为斜率的直线所围成的上开口梯形区域.2、.3、．4、，．5、．第7页共7页三、（本题15分）利用分离变量法求解如下定解问题：第一步：分离变量(5分)设，代入方程可得，其中为常数。将代入边界条件得从而可得特征值问题第二步：求解特征值问题(5分)1)若，方程的通解形式为：由定解条件知，从而，不符合要求。2)若，方程的通解形式为：由边界条件知，从而。3)若，方程的通解形式为：代入边界条件得从而得

2、特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数第7页共7页将每特征值代入函数满足的方程可得出相应的解第三步：叠加，确定叠加系数(5分)由初始条件得：故原方程的解为第7页共7页四、（本题10分）设，，利用行波法求解下列初值问题：解：（一）、求特征线，做特征变换：(5分)问题中方程对应的特征方程为：则可得特征线为：以及做特征变换则原方程可化为：（二）、积分求“通解”(2分)也即（三）、由定解条件，确定未知函数(3分)由定解条件：解得：所以，第7页共7页五、（本题15分）利用Green函数法求解如下狄氏问题：解：（一）、用电像法求格林函数(9分)在的空间上

3、放一正单位点电荷，在边界上产生的电位为。关于边界的对称点记作，在处放置电量为负电荷，其在边界上的电位为。a)的坐标为b)为了使边界上的电位为零，也即，由于，所以c)由于在内调和，在上具有连续的一阶偏导数，则得格林函数：（二）、对格林函数求法向导数(3分)（三）、求解(3分)第7页共7页六、（本题15分）用变换法求解定解问题：已知，其中。解：第一步：通过Laplace变换将原问题化为常微分方程定解问题(8分)由题意知，需取关于时间t取拉普拉斯变换，记，对原问题取拉普拉斯变换可得第二步：解此常微分方程定解问题(5分)上常微分方程的通解为再由定解条件

4、可得，从而第三步：取Laplace逆变换得原定解问题的解(2分)第7页共7页七、（本题15分）求解下列定解问题解：设，代人定解问题，得下面两个问题.和解方程得：，(5分)把解代人方程，解方程，采用分离变量法，设：，代入方程，得下面两个常微分方程：解方程（1）得：把代人方程（2），解得由解的叠加原理，设（3）(8分)把方程中的初始条件，代人上面的（3）式，所以，原定解问题的解为：.(2分)第7页共7页