中学数学竞赛讲座及练习（第9讲）+“设

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1、第九讲“设而不求”的未知数让我们先看一道简单的数学题．　　三角形的面积．　　解设这个三角形的斜边长度为c，因为斜边上的中线长是1，所以斜边长c=2．再设两条直角边的长度是a，b，面积是S，那么　　　　　　　a2+b2+2ab=6．④　　把②，③代入④式得　4+4S=6，　　　　在这个题目中，只要求出未知数S的值，而我们却设了三个未知数：a，b，S，并且在解题过程中，我们也根本没求a，b的值．但是由于增设了a，b后，给我们利用等量关系列方程及方程组求S的值，带来了很大的便利，像这种未知数(如a，b)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数．　　所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它

2、是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用．　　例2若　　　求x+y+z的值．　　分析已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比．　　解令　　　则有x=k(a-b)，y=k(b-c)，z=k(c-a)，　　所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，　　所以x+y+Z=0．　　说明本例中所设的k，就是“设而不求”的未知数．　　例3已知p，q，r都是5的倍数，r＞q＞p，且r=p+10，试求　　解不妨设p=5k1，q=5k2，r=5k3，由题意可知，k1，k2，k3都是整数．因为r＞q＞p，所以k3＞

3、k2＞k1．又因为r=p+10，　　所以5k3=5k1+10，k3=k1+2，①　　所以k1+2＞k2＞k1，　　所以k2=k1+1．②　　将①，②代入所求的代数式得　　　说明本题中k1，k2，k3均是“设而不求”的未知数．　　　　　a＞1，并且设　　分子：n-13=ak1，①　　分母：5n+6=ak2．②　　其中k1，k2为自然数．　　由①得n=13+ak1，将之代入②得5(13+ak1)+6=ak2，　　即　　　　　　　　　　　　　　　71+5ak1=ak2，　　所以　　　　　　　　　　　　　　a(k2-5k1)=71．　　由于71是质数，且a＞1，所以a＝71，所以n=k1·

4、71+13．　　故n最小为84．　　例5甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？　　解设四个人的年龄分别记为a，b，c，d，根据题意有　　　　　　　　　　由上述四式可知　　　　　　　　　　比较⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小，所以⑤-⑧得所以d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18．　　说明此题不必求出a，b，c，d的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解．　　例6设有n个数x1，x2，…，xn，它们的值只能是0，1，2三个数中的一个，如果记　　　试用f1和f2表示　　

5、　解设在x1，x2，…，xn这几个数中取值为0的有s个，取值为1的有t个，取值为2的有r个，则s+t+r=n，0≤t≤n，0≤s≤n，0≤r≤n，由此得f1=t+2r，f2=t+4r．　　所以　　=(2k-1)f2-(2k-1-2)f1．　　说明本题借助于s，t，r找到了fk与f1，f2的关系表达式．　　　　　整除．根据一个数能被9整除的特征有6+2+α+β+4+2+7=9m(m为自然数)，　　即　　　　　　　　　　　　α+β+3=9m1(m1为自然数)．　　又由于　　　　0≤α≤9，0≤β≤9，则有3≤α+β+3≤21，　　从而有α+β=6或α+β=15．①　　同理，按照一个数被

6、11整除的特征有α-β=-2或α-β=9．②　　①与②相结合，并考虑0≤α≤9，0≤β≤9，故只有α=2，β=4．　　所以原自然数为6224427．　　例8我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？　　　　　　　　=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)　　　=99×a-99×c　　　=100×a-100×c-100+90+10-a+c　　　=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)．　　因k是三位数，所以2≤a-c≤8，1≤a-

7、c-1≤7．　　所以　　　　　　　　　　　　　2≤10-a+c≤8．　　差对调后为k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)，　　所以k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)　　　　　　　+(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　=1089．　　　故　所求为1089．　　说明本例中a，b，c作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值．这正是“设而不求”的未知数的典型例子．　　在