中学数学竞赛讲座及练习（第44讲）判别

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1、第四十四讲判别式及其应用一元二次方程的根的判别式(△)是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用．熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力．　　　1．判定方程根的情况　　例1已知方程x2-2x-m=0没有实数根，其中m是实数．试判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根．　　解因为方程x2-2x-m=0无实数根，所以△1=(-2)2-4×(-m)=4+4m＜0，　　即

2、m＜-1．　　因为△2=(2m)2-4m(m+1)=-4m＞0，　　所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有两个不相等的实根．　　例2已知常数a为实数，讨论关于x的方程(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0　　的实数根的个数情况．　　实根．　　当a≠2时，原方程为一元二次方程，其判别式△=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1，　　　　说明对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．　　　2．确定方程中系数的值或范

3、围　　例3关于x的一元二次方程　　　　　有实根，其中a是实数，求a99+x99的值．　　解因为方程有实根，所以　　　即-a2-2a-1≥0．　　因为-(a+1)2≥0，所以a+1=0，a=-1．　　当a=-1时，原方程为x2-2x+1=0，x=1，所以a99+x99=(-1)99+199=0．　　例4若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0　　有实根，求a，b的值．　　解因为方程有实根，所以它的判别式△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0，　　化简后得2a2+4ab+4

4、b2-2a+1≤0，　　所以　　　　　　　(a+2b)2+(a-1)2≤0，　　　　　　　　说明在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值．　　例5△ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x2-12x+m=0　　的两个根，求m的取值范围．　　解设△ABC的三边分别为a，b，c，且a=5，由△=122-4·2·m=144-8m≥0　　　　并且不等式25=a2＞(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m，　

5、　　　　　　3．求某些方程或方程组的解　　例6求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解．　　解先把y看作是常数，把原方程看成是关于x的一元二次方程，即5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0．　　因为x是实数，所以判别式△=(8y-2)2-4·5·(5y2+2y+2)≥0，　　化简后整理得y2+2y+1≤0，　　即(y+1)2≤0，从而y=-1．将y=-1代入原方程，得5x2-10x+5=0，　　故x=1．所以，原方程的实数解为x=1，y=-1．　　说明(1)本题也可以把x看作常数

6、，把方程写成关于y的一元二次方程，再用判别式来求解．　　(2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0，　　从而x=1，y=-1．　　例7解方程组　　　　　　解引入待定系数k，由k·①+②得　　　或写成　　　　　　△=(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0．　　　　　　　　　即　　　　　　　　4．证明不等式，求最大值和最小值　　用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．　　是多少？　　　(x-3)2

7、+(kx-3)2=6，　　即　　　　　　　(k2+1)x2-6(k+1)x+12=0，　　将它看成关于x的一元二次方程．因x是实数，所以△=36(k+1)2-48(k2+1)≥0，　　即　　　　k2-6k+1≤0．①　　　　　　　　　　　　　　　　解由于　　　　　所以yx2+(y-2)x+y=0，　　上式可以看成关于x的一元二次方程．因x为实数，所以△=(y-2)2-4y2≥0，　　即　　　　　3y2+4y-4≤0，(3y-2)(y+2)≤0．　　　　当y=-2时，代入yx2+(y-2)x+y=0中，得x

8、=-1，即x=-1时，y=　　　　例10实数a，b，c满足a+b+c=2，且对任何实数t，都有不等式-t2+2t≤ab+bc+ca≤9t2-18t+10，　　　　证因为对任何实数t，有-t2+2t=-(t-1)2+1≤1，9t2-18t+10=9(t-1)2+1≥1，　　当t=1时，便有1≤ab+bc+ca≤1，　　所以　　　　　　　ab+bc+ca=1．　　由于a+b=2-c，于是ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(