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1、可拓集合及其应用研究杨春燕，张拥军，蔡文 （广东工业大学可拓工程研究所,广东广州510080） 摘要：文章介绍了扩展的可拓集合概念，提出了可拓集合论需要进一步研究的内容，并综述了可拓集合在人工智能、市场、资源、检测和控制等领域的应用。关键词：可拓集合；关联函数；可拓变换；可拓不等式1 引 言集合是描述人脑思维对客观事物的识别与分类的数学方法。客观事物是复杂的，处于不断运动和变化之中，因此，人脑思维对客观事物的识别和分类并不只有一个模式，而是多种
2、形式的，从而描述这种识别和分类的集合也不应是唯一的，而应是多样的。数学中的矛盾方程、矛盾不等式所描述的问题原形，实际上很多是有解的，认为“无解”的原因，在很多情况下，是因为只考虑数量关系而没有把事物和特征引入数学。例如“曹冲称象”问题，只考虑数量关系是无法解决的，即是矛盾问题，但事实上它是有解的。为此，有必要把解决矛盾问题的过程形式化，并建立相应的数学工具使之定量化。1983年，文[1]提出了可拓集合及其可拓域、稳定域、零界等概念，用它们来描述“是”与“非”的相互转化，从而能定量地表述事物的质变和量变的过程，而零界概念则描述了
3、事物“既是又非”的质变点。这些为矛盾问题的解决提供了合适的数学工具。文献[1-3]中用一元组建立了可拓集合的初步定义，文献[4]引进了变换T，用二元组来规定可拓集合，并定义了可拓集合的正域、负域、零界、可拓域、稳定域等，但由于它用两个定义共同来描述元素的可变性及量变和质变的过程，因而难以从可拓集合直接反映出“是”与“非”相互转化的形式化描述，在此定义中涉及到的变换T只是对元素的变换。文献[5-8]又将变换T扩展为对关联函数或对论域的变换。为了概括十多年来对可拓集合研究的成果，使可拓集合的定义能直接描述元素性质的可变性和量变、质
4、变的过程，我们用三元组（u,y,y’）和可拓变换T=(TU,Tk,Tu)来规定可拓集合。本文首先介绍扩展的可拓集合概念，并以此为基础进行讨论。2 扩展的可拓集合概念[9]2.1可拓集合的基本概念——关于元素变换的可拓集合定义1 设U为论域，k是U到实域I的一个映射，T为给定的对元素的变换，称(T)={(u,y,y’)∣u∈U, y=k(u)∈I, y’=k(Tu)∈I}为论域U上关于元素变换的一个可拓集合，y=k(u)为(T)的关联函数，y’=k(Tu)为(T)关于变换T的关联函数，称为可拓函数。（1） 当
5、T=e（e为幺变换）时，记(e)=={(u,y)∣u∈U, y=k(u)∈I}[3]，称A={(u,y)∣u∈U, y=k(u)≥0}为的正域； ={(u,y)∣u∈U, y=k(u)≤0}为的负域；J0={(u,y)∣u∈U, y=k(u)=0}为的零界。（2） 当T≠e时，称+(T)={(u,y,y’)∣u∈U, y=k(u)≤0,y’=k(Tu)≥0}为(T)的正可拓域；-(T)={(u,y,y’)∣u∈U, y=k(u)≥0,y’=k
6、(Tu)≤0}为(T)的负可拓域；A+(T)={(u,y,y’)∣u∈U, y=k(u)≥0,y’=k(Tu)≥0}为(T)的正稳定域；A-(T)={(u,y,y’)∣u∈U, y=k(u)≤0,y’=k(Tu)≤0}为(T)的负稳定域；J0(T)={(u,y,y’)∣u∈U, y’=k(Tu)=0}为(T)的拓界。2.2可拓集合的一般概念定义1是关于元素变换的可拓集合。定义1中假定论域U和关联准则k都是固定的，但在实际问题中，U和k也是可以改变的。为了体现这两种变换下的可拓集合，我们给出如下的一般定义。定义2 设U为论域，k
7、是U到实域I的一个映射，T=(TU,Tk,Tu)为给定的变换，称(T)={(u,y,y’)∣u∈TUU, y=k(u)∈I, y’=Tkk(Tuu)∈I}为论域TUU上的一个可拓集合，y=k(u)为(T)的关联函数，y’=Tkk(Tuu)为(T)的可拓函数。其中TU、Tk、Tu分别为对论域U、关联函数k(u)和元素u的变换。这里规定：当u∈TUU-U时，y=k(u)<0。（1） 当TU=e,Tk=e,Tu=e时，(T)=，即定义1的（1）。（2） 当TU=e,Tk=e时，TUU=U，Tkk=k,(T)=(T
8、u)，此可拓集合为关于元素u变换的可拓集合，即定义1的（2）。（3） 当TU=e,Tu=e时，TUU=U，Tuu=u (T)=(Tk)={(u,y,y’)∣u∈U, y=k(u)∈I,y’=Tkk(u)∈I},此可拓集合为关于关联函数k(u)变换的可拓集合，它同样
