空间几何体的表面积与体积

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1、疏导引导1.棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积(1)直棱柱的侧面展开图及侧面积①直棱柱的侧面展开图是矩形，例如直六棱柱的展开图如图(1).②直棱柱的侧面面积.设棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则得到直棱柱侧面面积计算公式：S直棱柱侧面积=ch即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.(2)正棱锥的侧面展开图及侧面积①正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形.例如正四棱锥的展开图如图(2).②正棱锥的侧面积设正棱锥底面正多边形的边长为a，底面周长为c，斜高为h′，斜高为展开图中任一等腰三角形的高，则正n棱锥的侧面积的计算公

2、式：S正棱锥侧=nah′=ch′即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半.(3)正棱台的侧面展开图及侧面积①正棱台的侧面展开图正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰梯形，例如：正四棱台的展开图如图(3).②正棱台的侧面积设正n棱台的上底面，下底面边长分别为a′、a，对应周长分别为c′、c，斜高(斜高为展开图中任一等腰梯形的高)为h′,则正n棱台的侧面积公式:S正棱台侧=n(a+a′)h′=(c+c′)h′本结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出.(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等

3、于侧面积与底面积的和.疑难疏引棱柱、棱锥和棱台的侧面积公式的内在联系必须明确，这样有利于认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体.正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系如下：案例1直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积分别为Q1、Q2，求它的侧面积.【探究】要求此棱柱的侧面积，只要求它的底面边长与高即可-12-解：设直平行六面体底面边长为a，侧棱长为l，如图S侧=4al，因过A1A、C1C与B1B、D1D的截面都为矩形，从而，则AC=，BD=，又AC⊥BD，∴.∴.∴.∴S侧=.【规律总结】公式

4、中的量求出来，但要注意平面几何知识及整体思想的运用.案例2已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高夹角为35°,则斜高为_________；侧面积为_________；全面积为_________.(单位：精确到0.01)【探究】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE.∵OE=2cm，∠OPE=35°,∴斜高PE=≈3.49(cm),∴S正棱锥侧=ch′=×4×4×≈27.92(cm2),S正棱锥全=42+27.92=43.92(cm2).【答案】3.49cm27.92cm243.92cm2【

5、规律总结】主要通过正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形寻找到各量的关系，并求解.2.圆柱、圆锥、圆台的表面积(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图如图-12-(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积.①如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2，侧面积为2πrl.因此，圆柱的表面积.S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).②如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么它的侧面积为πrl，表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).③如果圆台的两底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积为π(r′+r)l

6、，表面积为S=π(r′2+r2+r′l+rl).疑难疏引圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.案例3如图所示几何体是一棱长为4cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?(π=3．14)【探究】因为正方体的棱长为4cm，而孔深只有1cm，所以正方体没有被打透．这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样

7、的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1cm，底面圆的半径为1cm．解：正方体的表面积为16×6=96(cm2)，一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6．28(cm2)，几何体的表面积为96+6．28×6=133．68(cm2)．【答案】几何体的表面积为133．68cm2．【规律总结】1.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．2.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一

8、点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的．3.柱、锥、台体的体积(1)棱柱和圆柱的体积公式柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积.即V柱体=Sh底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱=πr2h(2)棱锥和圆锥的体积公式锥体(棱锥、圆锥)的体积等于它的底面积S和高h的积的.即V