热力学统计物理习题

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1、1.2证明任何一种具有两个独立参量的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得：如果，试求物态方程。解：以为自变量，物质的物态方程为其全微分为　　（1）全式除以，有根据体胀系数和等温压缩系数的定义，可将上式改写为（2）上式是以为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有（3）若，式（3）可表为（4）选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体积由最终变到，有即（常量），或　　　　（5）式（5）就是由所给求得的物态方程。确定常量C需要进一步的实验数据。1.3在和1下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数

2、分别为可近似看作常量，今使铜块加热至。问：（a）压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100，铜块的体积改变多少？解：（a）根据1.2题式（2），有　　　（1）上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差，温度差和压强差之间的关系。如果系统的体积不变，与的关系为　　（2）在和可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得　（3）将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。但是应当强调，只要初态和终态是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。这是因为，平衡状态的

3、状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。将所给数据代入，可得因此，将铜块由加热到，要使铜块体积保持不变，压强要增强（b）1.2题式（4）可改写为　（4）将所给数据代入，有因此，将铜块由加热至，压强由增加，铜块体积将增加原体积的倍。1.12假设理想气体的是温度的函数，试求在准静态绝热过程中的关系，该关系式中要用到一个函数，其表达式为

4、解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足（1）用物态方程除上式，第一项用除，第二项用除，可得　（2）利用式（1.7.8）和（1.7.9），可将式（2）改定为（3）将上式积分，如果是温度的函数，定义　　（4）可得（常量），　　（5）或（常量）。　（6）式（6）给出当是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在图中两条绝热线交于点，如图所示。设想一等温线与两条绝热线分别交于点和点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程

5、中，系统在等温过程中从外界吸取热量，而在循环过程中对外做功，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。1.15热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为，试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4）），有　　　（1）式中是热机从温

6、度为的热源吸取的热量（吸热为正，放热为负）。将热量重新定义，可将式（1）改写为　　　（2）式中是热机从热源吸取的热量，是热机在热源放出的热量，，恒正。将式（2）改写为　　　（3）假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为，必有故由式（3）得　（4）定义为热机在过程中吸取的总热量，为热机放出的总热量，则式（4）可表为　　（5）或　　（6）根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为　热机的效率为　　（7）1.1810A的电流通过一个的电阻器，历时1s。（a）若电阻器保持为室温，试求电阻

7、器的熵增加值。（b）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为，电阻器的质量为10g，比热容为问电阻器的熵增加值为多少？解：（a）以为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。（b）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热将全部被电阻器吸收而使其温度由升为，所以有故电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出，为2.2　设一物质的物态方程具有以下形式：试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：（1）故有（2）但根据式（2.2.7），有　（3）

8、所以　（4）这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T的函数.2.3　求证：　　　解：焓的全微分为（1）令，得（2）内能的全微分为（3）令，得（4）2.4　已知，求证解