热力学与统计物理习题

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1、第六章作业6.9题由提示知，在晶体中形出现个Schottky缺陷时，在正常位置中出现个缺位，这样由于缺位位置的不同，可能得微观状态数为所以其熵S为假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T时平衡态的自由能为极小要求由自由能F及熵S的公式，可得或表示为当时，上式可以近似为6.13题：以任意速度在单位时间内打到小孔处单位面积上的总分子数为（见课本136页），而在小孔处速率为的分子数为，由（6.85）式，单位时间内碰到法线方向沿Z轴的单位面积器壁上，速度在范围内的分子数为在球坐标上式可表示为：对和积分，从0到，从

2、0到，则有单位时间内碰到法线方向沿Z轴的单位面积器壁上，速率介于之间的分子数为所以，一个分子以速率由小孔中射出的概率为（利用（6，82）式）：故射出的分子速中，分子的平均速率同理，6.16题：转子的配分函数Z为（只考虑转动，则有），所以有内能U为从而推得，6.18题：由所给能谱知其相面积是设：推得所以可见与E成正比。第七章作业7.1题：(1)解释Boltzmann统计、Fermi统计和Bose统计,特别是它们之间的差别。它同全同粒子不可分辨性有什么联系？（2）为什么在高温极限下，上述三种类型的统计之间的

3、差别变得不重要？多高的温度才行？（3）对于散布在二维平面上的中子集合，温度在什么范围内必需用量子统计？设单位面积上的中子数。（1）Boltzmann统计：对定域系，粒子是可分辨的，每一个单粒子量子态上所能容纳的粒子数不受限制。能级上的平均粒子数是其中，为第能级的简并度，Fermi统计：对于费米子组成的非定域体系，粒子不可分辨，满足泡利不相容原理，能级上的平均粒子数为Bose统计：对于玻色子组成的非定域体系，粒子不可分辨，每一个单粒子量子态上所能容纳的粒子数不受限制，能级上的平均粒子数为由上可见：Ferm

4、i分布和Bose分布均用于由不可分辨粒子（即全同粒子）组成的系统，Bose分布中每个量子态能容纳的粒子数不受限制，其统计相关性是占据某个量子态的粒子数愈多，就促使其他粒子占据该量子态；Fermi分布认为系统的粒子存在相关性，放在一个量子态上只能有一个粒子，遵从Pauli不相容原理。Boltzmann分布中认为粒子是可区别的，N个粒子放在可区别的μ个格子中，认为调换不同格子里的粒子产生不同的微观状态。当粒子是全同时，不同格子间调换粒子、不产生新的微观状态。（2）由（1）的结果可知，当费米统计和玻色统计过渡

5、到玻尔兹曼统计，三者之间的差别消失。由为粒子数密度。可知，当时，上述条件满足。所以，在高温低密度极限下，三种统计的差别变得不重要。在物理上可做如下理解：当时，显然有，任一量子态上的平均粒子数远小于1。这是因为在高温低密度下，可供粒子占据的微观状态数目很大，远远超过粒子总数。这样，二个粒子同处在一个量子态的概率是很小的，泡利不相容原理自动满足，使费米子和玻色子统计性质的差别消失。（3）用量子统计处理二维体系的必要性，体现为两点：一个是粒子的不可分辨及泡利不相容原理，这要求不是远小于1（简并）；另一个是能级

6、量子化，这要求能级间隔不是远小于kT(能级离散)。对于二维中子体系，由，得L为体系尺度。取，则所以一般温度下能级都是准连续的，因此用量子统计的必要性主要由强简并条件决定。将各量数值代入，计算得时，必须用量子统计。7.11题解：总粒子数（Fermi分布取“+”，Bose分布“-”）其中g为粒子可能具有自旋而引入的简并度。内能令，上式可改写为（）两式被积函数的分母可以表示为在小的情形下，是一个小量，可将展开，只取头两项得，若只保留第一项相当于近似为Boltzmann分布，弱简并情形，我们保留两项，从而可得基

7、于上两式化简可得：由于很小，上式第二项中的用零级近似，即用Boltzmann分布的结果，代入可得结合7.9题的结论从而有式中对于Bose气体取“-”，对于Fermi气体取“+”命题得证。第八章作业8.8解：粒子数涨落则　玻色分布：，则得到　费米分布：，则得么　8.12题解：由体系平均粒子数平均能量按巨正则分布，体系的熵表达式为从而8.13题证明：对Debye晶体，在低温即时，由（7.22）式有　　　　　　　　　　　由第139页(6.98)式得：由麦氏关系（2.33-4）式有　　　　　在低温即，为常数　　

8、　　　所以对Debye晶体，在低温即时，与温度成正比。因而说明了在低温时，与的差别很小。8.14题解：配分函数定义（题目有误，应如此纠正）由此定义得从而得证（2）时，上式[]内第二项趋近于ln1=0，第三项亦趋近于0，从而