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1、概率论与数理统计Probability&MathematicalStatistics第一章随机事件及其概率1.3条件概率与全概率公式(1)1.3条件概率与事件的独立性实例:考察有两个孩子的家庭,假定男女出生率一样,则两个孩子(从大到小排列)的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)且可能性是一样的A=“该家庭有一男一女”B=“该家庭至少有一个女孩”(男,女),(女,男)(男,女),(女,男),(女,女)P(A)=1/2若已知该家庭至少有一个女孩,即B已发生,此时A发生的概率?P(B)=3/4P(A
2、B)=2/3=2/3这类概率问题称之为条件概率满足条件即B发生
3、的样本空间:(男,女),(女,男),(女,女)已知B发生的条件下A发生的有利场合:(男,女),(女,男)已知B发生的条件下A发生的概率(记为P(A
4、B))为P(A)=1/2P(B)=3/4巧合吗？一、条件概率定义1.对任意两个事件A,B,若P(B)>0,则称P(A
5、B)=P(AB)P(B)为已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率同样，若P(A)>0,则有P(B
6、A)=P(AB)P(A)因而，可以得到P(AB)=P(A
7、B)P(B)=P(B
8、A)P(A)这个公式被称为乘法公式或乘法定理例题：课本P39例2说明：条件概率的三种解法：1、试验法:根据条件概率的直观意义求概率
9、2、缩减样本空间法：在缩减后的样本空间中求事件的概率3、公式法：条件概率公式例1.甲乙两个城市都位于长江下游，根据100多年来的气象记录，知道一年中的雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%.若以事件A记甲市出现雨天，事件B记乙市出现雨天.求已知某市下雨，另一城市下雨的概率和至少一个城市下雨的概率.解:根据已知条件,有P(A)=0.2P(B)=0.18P(AB)=0.12已知甲市下雨时乙市下雨的概率P(B
10、A)=P(AB)/P(A)=0.12/0.2=0.6至少有一个城市下雨的概率=0.2+0.18-0.12=0.26从以上的结果来看，在下雨这个方面，两
11、个城市是有联系的P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)已知乙市下雨时甲市下雨的概率P(A
12、B)=P(AB)/P(B)=0.12/0.18=0.67P(AB)=P(A
13、B)P(B)=P(B
14、A)P(A)乘法公式也可推广到有限多个事件的情形：定理1.广义乘法公式则是一个有限事件序列，若,0)(,,,12121>-nnAAAPAAALL二、条件概率的性质首先，不难验证条件概率P(A
15、B)具有概率的三个基本性质，即三条公理：同样,类似于概率，对条件概率也可以由三条公理推导出其余的一些性质:=0=0课本：P40例题4注意：问题（2）第一次检测到正品后，第二次检测是正品的概率。区
16、别于问题：第二次检测到正品的概率？例2.一袋中有同样大小的硬币10枚,其中7个面值为1角,3个面值为5角.采用不放回取样（即每次取一枚,取后不放回),求:(1)第三次才取到面值为5角的硬币的概率;(2)前三次中至少有一次取到面值为5角的硬币的概率.硬币10枚,其中7枚面值为1角,3枚面值为5角,取3次前三次中至少有一次取到面值为5角的硬币为解:第三次才取到5角的硬币为(1)根据乘法公式(2)根据对偶律例3.(鲍耶(Pólya)模型)一罐中装有a只白球和b只黑球,每次从中任取一球,记下颜色后放回并加入c只与之同颜色的球,如此进行n次，求前m次都取到黑球、后n-m次都取到白球
17、的概率.解:所求事件为根据广义乘法公式注:c=0即为有放回取球模型;c=-1即为不放回取求模型从一副扑克中(52张)依次随机抽取3张,已知其中有一张A，求其中恰有2张A的概率思考:三、事件的独立性从条件概率可知，在一般情况下P(B
18、A)=P(B)但在一定条件下，它们也可以相等，即P(B
19、A)=P(B)事件A是否发生不影响事件B发生的概率。定义3.对任意两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A与事件B相互独立.事实上如果P(B
20、A)=P(B)则A,B相互独立两个事件相互独立的定义定理1.如果事件A与事件B相互独立,则下列三对事件也分别相互独立证明:实际问题
21、中,往往从事件的实际关系去分析独立性.四对有一对相互独立，则其余三对也相互独立例8.甲乙两人同时独立向同一目标射击,已知甲乙击中目标的概率分别为0.8和0.7,求目标被击中的概率.解:设A为甲击中目标B为乙击中目标C为目标被击中显然，两人是否击中目标的概率不受对方影响所以,A与B相互独立所以P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)根据不同的概率公式，本问题还有许多种解法例9.已知P(A)>0,P(B)>0,(1)如果事件A,B相互独立，那么A,B是否互不相容?(2)反之，如果A,B互不相容
