排列组合中几个易混淆问题辨析

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1、排列组合中几个易混淆问题辨析文章来源：现代教育报·思维训练作者：王强芳点击数：1583更新时间：2007-4-1214:25:58　１.分组问题　分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.　１.1非平均分组问题　在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.　【例１】把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.　（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.　（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.　解：（１）先从１２人中任选７人为甲组，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有种不同的分组方法.　

2、（2）先从１２人中任选７人为一组有种选法，再从余下５人中任选３人有种选法，剩下的２人为一组，共有种不同的方法.　【点评】由于各组人数不同，这个问题属于非平均分组问题，尽管第（1）个问题中给出了甲、乙、丙三个组，而第（２）个问题只是给出了各组人数而没有具体指定组名，但分组的方法数都是一样的.易错点：误把（１）的结果表示为　　１.2平均分组问题　上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名，它们的结果是不同的.　【例２】有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？　（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.　

3、（２）平均分成三份.　解：（１）从６本书中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共有＝９０种分法.　（２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有　∴＝１５种不同的分法.　【点评】上面例子可以看出：两个问题都是分成３堆，每堆２本，属于平均分组问题，而（１）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（２）没有给出组名，因而结果是不同的.　一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有种分法.易错点：错把（１）的结论写为错把（２）的结论写

4、为　１.3局部平均分组问题　某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.　【例３】（１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？　（２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？解析：我们先来研究：“两个无区别的白球与两个无区别的红球排成一排的方法数”问题.如果这４个球各不相同，则有种排法，由于白球和红球各有种排法，因此两个白球与两个红球排成一排的排法有种，下面来解决上述问题.　（１）可按下面步骤完成：先将６本书分成１本、

5、１本、２本、２本４个部分，然后让四个人去全排列取书，即有种.　（２）先把６本书分成１本、１本、２本、２本的４堆，由于两个１本与两个２本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法数为　种.　【点评】两个问题同属局部平均分组问题，但（１）中指定分给了４个人，相当于指定了组名，而（２）没有给出组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（１）中相当于把４本书分成两份２本，两份１本，共有种分配方法，然后把它分给４个人.　在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：把６本不同的书分成Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四堆，其中Ａ、Ｂ各２本，Ｃ、Ｄ各１本，则有几种分

6、法？该问题的分法有种分法.　易错点：误把（２）中的结论表示为 .　因此，在解决分组问题中，要弄清以下几点：①分配对象是否明确（组名是否给出）？　②是否平均分配？　③是否局部平均分配？　④分配中有无顺序关系？　２.挡板模型与分组问题　挡板模型是解决排列组合问题的常用方法之一，且效果极佳，但有些分配问题如果不加分析而乱套挡板模型，则极易出现误解.　【例４】５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？　错解：把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：０

7、０

8、０

9、０

10、０，只要在４块挡板中任取２块，一共有＝６种不同的方法.　错因：５个教师是互不相同的，而用挡板时，

11、要求这些元素必须相同.即把问题改为：把５个名额分配给３个班，每班至少有１人.问有几种不同的分法？５个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.　正解：先把５位老师分成三堆，有两类：１、１、３和１、2、2分别有和种，再分到三个班里，共有＝１５０种.　【点评】类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解决.　3.挡板模型与双排问题　在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.　【例５】从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？　错解：选把１０个指标排