数学史上的一次艰难长征 费马大定理的证明

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1、数学史数学史上的一次艰难长征—费马最后定理的证明郭凯声(《科学》杂志社，重庆400013)1997年6月，普林斯顿大学的数学家安德鲁.J.怀尔斯理。在费马逝世以后，他所提出的许多定理一个接一个地都在德国哥廷根大学领取了声名卓著的沃尔夫斯克尔奖金。得到了证明，直到只剩下这个最后定理。三个世纪以来，许这项奖金设立于1908年，获奖者将是任何一位能证明彼埃多优秀的数学家都曾试图证明它，但都没有得到成功。于是尔，德·费马著名的最后定理的数学家。对于怀尔斯来说，证费马最后定理就成了近代数学中悬而未决的大问题之一。明这个定

2、理不但是给他的十年艰苦努力画了上了一个圆满人们常常议论的一个问题是费马是否真正作出了这个的句号，也是圆了他的一个童年之梦。而对于数学界来说，定理的“奇妙的证明”?许多人认为是这样的。例如，1742怀尔斯的证明可望使数学的未来发生革命性的变化。年，杰出的数学家欧拉因为无法证明费马的最后定理而感到费马最后定理在长达三个多世纪的时期中曾使许多最极度失望，以至请求他的一位朋友去查看费马的住宅，看看杰出的数学家绞尽脑汁而不得其解。但是，这个定理对于推是否会有一些关于该定理证明的关键资料藏匿在那里。但动数论的发展起到了非常

3、重要的作用。数学思想中一些最是，根据现有的资料和事实，可以相当有把握地认为，费马并伟大的创造是由于研究这个定理而促成的，为了证明这个定没有严格地证明他自己提出的这个难题。在现存的费马悬理而发展起来的一些数学方法也对其他许多问题的解决作作中，除了丢蕃图书中的这个著名的旁注之外，再也没有提出了贡献。特别是，怀尔斯在证明这个定理的过程中利用并到过这个定理的证明。费马曾在另处提到过方程X3+y3=进一步发展了许多现代数学概念，包括著名的志村一谷山猜Z3和x4+y4=Z4不存在正整数解。如果对于完整的最后定想。怀尔斯的工

4、作把代数几何学与复变函数论这两个重要理(即方程x"十yn=Z=不存在正整数解)，他也发现了一个正的数学分支相互联系了起来，使得其中一个领域所取得的进确的证明，那么他再也没有提到这件事就十分奇怪了。情况展肯定将启发另外一个领域取得的新的成果。因此，费马最有可能是，他在写那条旁注时的确曾有一个证明的想法.但后定理的证明必将对未来数学的发展产生深远的影响。后来却认识到那个想法是错误的。由于他当时极有可能并不打算把这些旁注公诸于世，因此后来也就没有机会再来删费马最后定理的由来除或修正这条旁注。此外，自费马逝世至今的三个

5、多世纪中，数学已经取得十七世纪的法国教学家彼埃尔·德·费马是近代数论之了长足的进展。今天的数学家们拥有的工具和手段是费马父。费马的正式职业是法国南部城市图卢斯的法官，钻研数那个时代根本不可想象的。即使在十九世纪，试图攻克最后学问题是他的业余爱好。虽然费马只是一位业余数学家，但定量的数学家们所运用的方法的复杂程度也远远超出了费却取得了非凡的成就，对于奠定概率论和微积分学的基础作马的水平。当然，这些事实并不能绝对排除费马找到一个极出了极大的贡献。近代微积分学的创建者之一伊萨克·牛顿为巧妙的简单证明的可能性，但是，至

6、少可以相当有把握地.就曾说过，他的理论是建立在“费马先生的画切线方法”基础认为，这种可能性是微乎其微的。之上的。同他那个时代的许多学者一样，费马也常常钻研古代的早期的进展经典著作。他在研究古希腊数学家丢番图的著作《算术》时.构想出了他最有名的挑战。在该书中费马作了大量的旁注，如果说费马几乎不可能证明一般情况下他的最后定理其中有一条旁注是这样的:“不可能把一个立方表为两个立的话，那么对于n=4这一特殊情形，他实际上给出了一个严方之和，把一个四次方表为两个四次方之和，或者一般地说，格的证明，这也是费马最后定理的研究

7、史上的第一个证明。一个次数大于2的方幂不可能是两个同次方幂之和。我已他所用的方法是无限递降法;据他自己说，这种方法是他在发现了此命题的一个真正奇妙的证明，但是这页边空白太小整个数论领域中所有证明的基础。了，写不下这个证明。”该命题后来就被称为费马的最后定无限递降法是归谬法(即反证法)这个常用数学方法的21卷1期83数学史一种特殊形式。用这个方法来证明某一方程没有正整数解研究成果进行的，它完全不依赖于对整数的因子分解的类时，首先假设该方程有一正整数解，然后就可以推导出它存比。在一个更小的正整数解。同理，由这个更小

8、的解可以作出再但是欧拉的方法并不能象这样一直推广下去。对于n小一些的解。这一过程可以无限地重复下去(因此该方法称大于5的情形，这种证明方法所使用的等式变得相当复杂，为“无限递降法”)。然而，由于该方程的解均为正整数，因而以致这一方法不再行得通。因此，需要开辟新的途径。实际上不可能永远地一直小下去。这样就证明了该方程并大约15年后，拉梅对n=7的情形证明了费马的最后定没有正整数解。理。此