费马猜想证明艰难历程的概述

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1、费马猜想证明艰难历程的概述王德忱（黑龙江省农业科学院黑河分院）一、费马猜想费马猜想：又称费马大定理，是世界最著名的数论难题之一，即当n是一个大于2的正整数时不定方程zn＝xn＋yn为正整数等式不成立，也就是没有zxy≠0的正整数解。几何学中被誉为两大宝藏之一的“勾股定理”（另一为“黄金分割”）自史以来非常受人们重视，它的正整数解被称为“勾股弦数”。大约在公元前1900年到公元前l600年之间古巴比伦人就掌握了多组勾股弦数，公元前12世纪我国《周髀算经》也记载了“勾三股四弦五”的重大发现。古希腊数学家丢番图（330－246年）给出了勾股弦数a2＋b2=c2基本

2、组解公式：a=2mn、b=m2－n2、c=m2+n2（m＞n）。这些数学的辉煌成果是人类历史上杰出智慧的结晶。于是数学家们要找到a3＋b3=c3的正整数解，乃至要找到an＋bn=cn的正整数解。数论，闪烁着神秘的光环，皇冠上璀璨的明珠！费马，1601年—1665年生于法国。他职业最初是律师，后来为图卢兹议会议员。他博览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学，近三十岁时钻研数学，成果累累，在数论、解析几何学、概率论等方面都有重大贡献，被誉为“业余数学家之王。他提出了许多数学定理，特别是1637年在巴契校订的希腊数学家丢番图的《算术》第2卷第8命题“把一个平方数分

3、为两个平方数”旁边写道：6“把一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或一般地把一个高于二次的幂分为两个同次的幂是不可能的。关于这一点，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”。从此zn=xn＋yn没有正整数解的“美妙的证法”吸引了许多优秀数学家及成千上万数学爱好者的痴劳寻觅。所有巨大的辛苦与付出都没能达到目的，这个问题就成了数学史上一个最深奥的谜。为推进费马猜想的证明，布鲁塞尔和巴黎科学院数次设奖，1908年哥廷根皇家科学会悬赏10万马克（当时值200万美元）期限定为100年（至2007年）征求对费马猜想的证明。仅1909

4、–1911年三年间发表错误的证明论文就多达1,000余篇，由此数学刊物不再审理这方面投稿。又有著名数学家论文已发表才被发现错误。后来就自然形成一个约定：费马猜想的证明，必须由世界至少5个著名数学家承认正确推荐的论文才能发表。二、费马猜想证明的重大意自费马猜想提出以来370多年里，不少数学家及数学爱好者艰苦不屑地努力试图证明或否定它。当然还是希望证明它，尤其兴趣能够找到费马猜想的那个“美妙证法”。1676年，数学家们根据费马的少量提示用“无穷递降法”证明了n＝4时的情形，这一证法被公认为是费马自己的证明。1678年德国数学家莱布尼兹证明了n＝4时费马猜想成立。

5、1738年瑞士数学家欧拉也给出了n＝4的证明。1770年，欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。1823年和1825年，法国数学家勒让德和德国数学家狄利克雷先后证明了n＝5。1832年，狄利克雷试图证明n＝7，却只证明了n＝14。1839年法国数学家拉梅证明了n=7，随后得到法国数学家勒贝格的简化。1857年，德国数学家库麦尔因第一次对一大批指数n证明了费马猜想，是19世纪贡献最大的，获得巴黎科学院的金质奖章。他从1844年起花费20多年时间创立了理想数论，证明当n＜100除37、59、67三数所有奇素数费马猜想成立。61901年，德国数学家林德曼

6、发表了一篇17页的论文，但他的证明很快被人们指出了错误。他在1882年成功地证明了π是超越数，从而彻底解决了困惑数学家2000多年的“化圆为方”问题。此后林德曼信心大增，夸口要解决费马猜想。1907年他又发表了一篇长达63页的证明，后又被推翻。1926年，美国数学家范狄维尓证明了当n＜211的奇素数时费马猜想成立。此后数学家们证明奇素数n的值不断扩大：1954年n＜2521、1955年n＜4001、……法国数学家勒贝格提交了一个证明，但因有漏洞被否决。世界著名数学家高斯、柯西、阿贝尔等等都付出了极大的努力研究费马猜想，但没有结果。19世纪和20世纪初最具影响

7、力的德国数学家希尔伯特也研究过，但没有进展。他说：“费马猜想是一只会下金蛋的鸡”，因为费马猜想地研究促进了数学发展。1955年，日本数学家谷山丰猜测及韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山–志村猜想”，这个猜想使费马猜想的证明又向前迈进了一步。1976年，德国数学家瓦格斯塔夫用大型计算机证明了n＜125000，更加推进了证明速度。1983年，德国数学家法尔廷斯证明了一条重要猜想——“莫代尔猜想”，即x2+y2=1这样的方程至多有有限个有理数解。由于这一贡献，他获得了被誉为数学诺贝尔奖的菲尔兹奖。1985年，美国数学家罗瑟用大型计算机证明了n＜41000

8、000。1985年，德国数学家弗雷指出了“谷山–志村