湘潭大学 刘任任版 离散数学课后习题答案 习题17

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1、第十七章(群)1.设是群,.试证:证明:设是单位元(下同),直接根据定义即有:,2.试举一个只有两元素的群。解:设,并且的单位元为0,则可以确定乘法表中的三个元素,00=0;01=1;10=1;由群的定义,任意元素都有逆元,0的逆元为0,1的逆元为1,因此11=0。因此乘法运算有如下表:01001110易知,单位元,运算满足封闭性和结合律,且。故是群。3.设的乘法表为问:是否成为群?若不是群,结合律是否成立?有无单位元?解:如果A是一个群,则一定有单位元i,乘法表中第i行第i列元素保持不变,而定义的乘法表不满足此性质。因此A无单位元,故A不

2、成群。且,无结合律。4.设是群.试证:若对任何,均有,则是交换群.证明:利用消去律,将各等式降阶。又因此,,于是,得,再由(1)知,,故有.5.设是群.试证:若对任何,有,则是交换群。证明:利用群的性质(3),(4),对任意,有。故是交换群。6.设是群,是正整数.试证:存在,使.13证明:任取。若,则和在中成对出现。注意到群的元素个数为偶数,因此,在中满足即的元素个数也是偶数。但满足.故除之外,至少还有一个,使得.7.试证:1阶群,2阶群,3阶群和4阶群都是交换群,并构造一个不是交换群的6阶群.证明:设至阶群分别为1)显然,是交换群。2)是

3、交换群。3)对,若,则有,即,从而(矛盾);同理,若,则有(矛盾)。因此必有。又故是交换群。4)对于。(i)若中两个元素互为逆元,不妨设,则必有且,否则有或。同理可证。(ii)若各自以自身为逆元,即,则必有.总之,是交换群。(其实可以用第5题的结论直接得出)设。由上的所有3元置换所组成的集合对于置换的乘法运算构成一个群。但它不是交换群,即8.设是群,.试证:(1)有相同的周期;(2)与有相同的周期。证明:(1)因为对任意整数,当且仅当。所以的周期是无限的,当且仅当的周期是无限的.若的周期是(正数),则的周期.由对称性有.因此,.故与的周期相

4、同。注意到,于是当且仅当当且仅当。因此与的周期相同。(2)由(1),只须证对任意整数,当且仅当.当时,结论显然成立。今设。则当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当.再设。令,由上有当且仅当时。注意到对任意,当且仅当,于是当且仅当.故当且仅当.9.设是群,令,对任意试证:是的子群.称为的中心,的元素称为的中心元素.13证明:任取,则对任意,有,从而因此,.故是的子群.10.设是一个群,且,和的周期分别为和,与互质,证明:的周期等于.分析:设周期为,利用定理17.2.5(2),分两步分别证明,.证明:设的周期为。由得。于是(定理17.2.5)。又。令

5、。设的周期为.(定理17.2.5).又,于是,。但,故.从而于是,有。即,而,因此,,故.11.设是群的一个元素,其周期为是的子群,试证:如果,且与互质.则.分析:因为,互质,利用整除性质,见书定理16.1.3,易证.证明:因为,所以存在整数使得.于是.但,是的子群.故.12.设是群,且,和的周期分别为和.试证:若,则的周期等于与的最小公倍数.分析:设的周期为,和的最小公倍数为,要证明,只需证明,即可。利用定理17.2.5易证;利用整除的基本性质,定理16.1.1,分别可以将表示成,的倍数与余数之和,利用,可得,即是,的倍数,.证明(一):

6、设和的最小公倍数为。的周期为。因为,所以,,从而.又设因为,所以。又,因此,,从而,。于是,即。因此.故.证明(二):设的周期为。因为且,所以(否则,,从而得。此与的假设矛盾)。于是,,即是和的公倍数。若的最小公倍数不是而是,则,且此与的假设矛盾。得证。13.设是一个群,且,的周期为质数,且.试证:.分析:用反证法,则有非单位元,,利用为质数,整除性质有,容易推出矛盾。13证明:若,则存在且,即存在整数,使且。因是质数,所以存在整数,使.于是,,即,矛盾。故.14.写出的群表.解:设于是,根据置换的乘法运算规则,有15.证明:任何对换都是一

7、个奇置换,又恒等置换是偶置换.分析:根据对换的定义,命题17.3.4即可证。证明:(1)设为元对换,可分解成一些对换的乘积,显然有,由命题17.3.4可知,对换是一个奇置换。(2)设为元恒等置换,是元对换,显然有,由命题17.3.4可知,对换是一个偶置换。16.设元置换,其中互不相交,且.试证:的周期(即满足的最小正整数)等于的最小公倍数.分析:设周期为,最小公倍数为,根据定义易证;由互不相交,证。证明:设的周期为.的最小公倍数为。因互不相交,所以.于是。另一方面,因为且互不相交,因此,。于是,.由最小公倍数的性质知,,故.17.设是的两个

8、置换.(1)写出的轮换表示,并求出和的周期.(2)计算.解:(1).由题16有和的周期为。(2)1318.试找出的所有子群.解。设.其子群有:,19.设试判断和是否是的子群,并说

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